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8번 문제 해설 ✏️
문제:
두 점 A(−1, 2), B(0, 1)에서 같은 거리에 있는 점 P에 대해, P가 x축 위에 있을 때 점 P의 좌표 OP의 길이를 구하시오. (단, O는 원점이다)
✔️ 힌트
- 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점 → 수직이등분선 위의 점
- 단, 문제는 x축 위의 점을 말하므로, y좌표가 0인 점 P(x, 0)을 놓고 계산합니다.
- PA = PB 조건 → 두 거리 공식 제곱 후 식 정리!
- OP는 원점(0, 0)과 P(x, 0)의 거리 → |x|
🔍 풀이
점 P를 (x, 0)이라 하고, PA = PB 조건을 씁니다.
PA² = (x + 1)² + (0 − 2)² = (x + 1)² + 4
PB² = (x − 0)² + (0 − 1)² = x² + 1
PB² = (x − 0)² + (0 − 1)² = x² + 1
PA = PB 이므로 PA² = PB²:
(x + 1)² + 4 = x² + 1
좌변 전개 후 정리:
x² + 2x + 1 + 4 = x² + 1
x² + 2x + 5 = x² + 1
x² + 2x + 5 = x² + 1
좌우 x² 소거하고:
2x + 5 = 1 → 2x = -4 → x = -2
따라서, P의 좌표는 (−2, 0)
OP의 길이 = 원점 (0, 0)과 P(−2, 0) 사이의 거리 = |−2| = 2
✅ 최종 정답
OP = 2
두 점에서 같은 거리는 수직이등분선!
조건에 맞는 점의 좌표를 정하고 거리식을 세우면 쉽게 풀 수 있어요 ✨