1837번 · (A+B)²+(A−B)²=2(A²+B²) 활용
MAPL 시너지 행렬과 그 연산 · 정답 1
📌 문제 요약
두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 A+B, A−B, A²+B²이 주어졌을 때, 두 행렬이 서로 같을 조건을 이용하여 x+y의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
행렬에서도 (A+B)²+(A−B)² = 2(A²+B²)이 항상 성립합니다. 이 공식은 AB와 BA의 교환 여부와 무관하게 성립하므로, AB=BA를 가정할 필요 없이 바로 적용할 수 있습니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
(A+B)² = A²+AB+BA+B²이고 (A−B)² = A²−AB−BA+B²입니다. 두 식을 더하면 AB, BA 항이 소거되어 2(A²+B²)만 남습니다. 따라서 A+B와 A−B를 각각 제곱하여 더한 결과가 2(A²+B²)과 같아야 합니다. A+B=(1,2;2,1)과 A−B=(x,2;1,y)를 각각 제곱하여 합산한 뒤, 2×(A²+B²)=2×(11/2,3;5/2,8)과 같다는 조건으로 연립방정식을 세우면 x, y를 구할 수 있습니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- (A+B)²+(A−B)²=2(A²+B²) 공식을 모름 — 이 공식의 성립 원리를 이해하지 못하면, A와 B를 각각 구하려는 비효율적인 접근을 하게 됩니다. 전개 후 AB+BA가 소거된다는 점이 핵심입니다.
- 행렬 제곱 계산 오류 — (A−B)²을 전개할 때 (x,2;1,y)×(x,2;1,y)의 각 성분을 정확히 계산해야 합니다. 특히 x²+2, x+y 등의 항에서 실수가 발생하기 쉽습니다.
- 연립방정식 풀이에서 ±해 처리 — x²+7=11, 7+y²=16에서 x=±2, y=±3이 나오지만, 다른 조건(2x+2y+4=6, x+y+4=5)을 통해 유일한 해를 결정해야 합니다.
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