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이차방정식의 근과 행렬의 곱
2006년 09월 고2 학력평가 나형 28번
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원
📋 문제 요약
이차방정식 x²−2x−1=0의 두 근 α, β로 성분이 정의된 두 행렬 A, B에 대해 AB의 모든 성분의 합을 구하는 문제입니다.
정답
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🔑 핵심 단서
α, β를 직접 구할 필요 없이 근과 계수의 관계만으로 풀 수 있습니다. α+β=2, αβ=−1을 이용하고, AB를 계산하면 성분이 α²β², α³+β³ 등으로 나타나는데 모두 α+β와 αβ만으로 표현 가능합니다. 특히 α³+β³=(α+β)³−3αβ(α+β)=14가 핵심 계산입니다.
🧭 풀이 전략
STEP A 근과 계수의 관계 → α+β=2, αβ=−1. 곱셈공식으로 α²β²=1, α³+β³=14 계산
STEP B AB를 직접 곱셈하면 성분이 α²β², α³+β³, 0, α²β²로 나옴 → 모든 성분의 합=1+14+0+1=16
행렬 A, B의 구조를 보면 (2,1) 성분이 0이므로 곱셈 결과에서도 0이 나타나 계산이 간결해집니다. 행렬의 곱셈 전에 어떤 대칭식이 필요한지 미리 파악하면 효율적입니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- α³+β³ 계산에서 αβ=−1의 부호를 놓치기 쉽습니다. (α+β)³−3αβ(α+β)=8−3×(−1)×2=8+6=14입니다.
- 행렬 AB 곱셈에서 (2,1) 성분이 0인 구조를 잘 활용하세요. 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.
- α²β²=(αβ)²=1인데, α²+β²와 혼동하지 않도록 주의하세요.