1841번 · AB=BA 조건에서 도형의 넓이 구하기
MAPL 시너지 행렬과 그 연산 · 정답 1
📌 문제 요약
두 행렬 A, B에 대하여 (A+B)(A−B)=A²−B²이 성립할 때, 좌표평면 위의 점 (x, y)가 나타내는 도형과 x축, y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
(A+B)(A−B) = A²−AB+BA−B²이므로, 이것이 A²−B²과 같으려면 −AB+BA = O, 즉 AB=BA가 성립해야 합니다. 이 조건을 행렬 A, B의 성분에 적용하여 x와 y 사이의 관계식을 구하는 것이 핵심입니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
(A+B)(A−B) = A²−B²이 성립하는 조건은 AB=BA(교환법칙 성립)입니다. 주어진 행렬 A=(2x,−1;1,1), B=(−1,1;−1,y)로 AB와 BA를 각각 계산한 뒤 서로 같다고 놓으면 y=2x−2라는 관계식을 얻습니다. 이 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하면, x절편이 1이고 y절편이 −2이므로 넓이는 ½×1×2=1입니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- (A+B)(A−B)=A²−B² 조건의 의미를 놓침 — 이 등식이 성립하려면 AB=BA여야 합니다. 단순히 인수분해 공식을 적용하는 것이 아니라, 행렬의 곱셈 비교환성을 고려해야 합니다.
- AB, BA 계산에서 성분 오류 — 2×2 행렬의 곱셈에서 각 성분을 계산할 때 부호 실수가 빈번합니다. 특히 (−1)×(−1)=1 같은 부분을 놓치기 쉽습니다.
- 넓이 계산에서 절댓값 누락 — y절편이 −2이므로 도형은 제4사분면에 위치합니다. 넓이를 구할 때 y절편의 절댓값을 사용해야 합니다.
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