1847번 · AE=EA 활용 행렬 X의 2열 성분의 합
MAPL 시너지 행렬과 그 연산 · 정답 ①
📌 문제 요약
X+2A²+E = A³−A²+3A에서 행렬 X를 구한 뒤, X의 2열의 모든 성분의 합을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
AE=EA이므로 A³−3A²+3A−E = (A−E)³으로 인수분해할 수 있습니다. 이는 (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³ 공식에서 b=E를 대입한 형태입니다. 단위행렬 E는 모든 행렬과 교환 가능하므로 이 전개가 성립합니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
X = A³−3A²+3A−E로 정리한 뒤, 이를 (A−E)³으로 인수분해하면 계산이 대폭 간소화됩니다. A−E를 먼저 구한 뒤 세제곱하면 됩니다. (A−E)² = (A−E)(A−E)를 구하고, 다시 (A−E)를 곱하면 (A−E)³을 얻습니다. 이때 2열의 성분만 필요하므로, 전체 행렬을 구한 뒤 2열 성분만 합산하면 효율적입니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- 인수분해 공식 적용 실패 — A³−3A²+3A−E가 (A−E)³임을 파악하지 못하면 A³, A²을 각각 계산해야 하므로 계산량이 크게 늘어납니다.
- AE=EA 조건을 당연시하지 않음 — 일반적으로 행렬 곱셈은 교환되지 않지만, 단위행렬 E는 모든 행렬과 교환됩니다. 따라서 (A−E)³ 전개에서 이항정리를 그대로 적용할 수 있습니다.
- (A−E)³ 계산 중 부호 오류 — (A−E)²를 구할 때 각 성분의 부호를 정확히 처리해야 합니다. 특히 음수끼리의 곱에서 실수가 발생합니다.
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