마플시너지공수1답지 867번 y/x 기울기 최대·최소 핵심 포인트

867번은 원 위의 점 P(x, y)에 대해 y/x(또는 (y−q)/(x−p)) 꼴의 최대·최소를 구하는 TOUGH 문제입니다. 이 식은 고정점에서 P까지 그은 직선의 기울기라는 기하적 의미를 가집니다.

y/x는 원점 O(0,0)에서 P(x,y)로 향하는 직선 OP의 기울기입니다. 따라서 y = mx(원점을 지나는 기울기 m인 직선)가 원과 접할 때의 m값이 y/x의 최대·최소가 됩니다.

풀이는 세 단계입니다. ① y = mx를 원의 방정식에 대입 → ② x에 대한 이차방정식의 판별식 D = 0으로 설정 → ③ m에 대한 이차방정식을 풀어 두 접선 기울기를 구함. 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값입니다. (y−q)/(x−p) 형태면 고정점이 (p, q)로 바뀔 뿐 방법은 동일합니다.