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2009학년도 06월 고3 모의평가 나형 25번
정답 (풀이 참조)
🔑 핵심 단서
구조 피라미드 모양 사다리꼴 5개 (위→아래로 점점 커짐)
색 조건 3가지 색, 이웃한 사다리꼴은 다른 색
추가 조건 맨 위와 맨 아래도 서로 다른 색!
본질 5개를 일렬로 나열하되 양 끝도 다른 색 → 원형 배열과 유사한 구조
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
이웃한 사다리꼴끼리 다른 색 + 맨 위와 맨 아래도 다른 색이므로, 사실상 5개 영역이 원형으로 연결된 것과 같습니다. 3색으로 원형 배열 색칠하는 고전적 문제입니다.
방법: 순차적 곱의 법칙
사다리꼴을 위에서부터 ①②③④⑤라 하면:
· ① → 3가지 (아무 색)
· ② → ①과 다른 색 → 2가지
· ③ → ②와 다른 색 → 2가지
· ④ → ③과 다른 색 → 2가지
· ⑤ → ④와 다르고 ①과도 달라야 함
⑤의 경우 분리:
④와 ①이 같은 색인 경우 → ⑤는 그 색만 피하면 됨 → 2가지
④와 ①이 다른 색인 경우 → ⑤는 두 색 모두 피해야 → 1가지
따라서 ④와 ①의 색 관계를 추적해야 합니다. 이를 위해 ①~④까지의 색칠 경우를 “④=① 동색”과 “④≠① 동색”으로 나누어 계산합니다.
또는 공식을 사용할 수 있습니다:
n개 원형 배열, k색 → (k−1)ⁿ + (−1)ⁿ(k−1)
n=5, k=3: (3−1)⁵ + (−1)⁵(3−1) = 32 − 2 = 30
또는 전체(맨 위-아래 무관) − 맨 위=아래 경우로 여사건을 사용해도 됩니다.
① 원형 구조 인식
② 양 끝 동색/이색 분리
③ 각각 곱의 법칙
④ 합산
📺 해설 강의
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⚠️ 자주 하는 실수
“맨 위와 맨 아래도 다른 색” 조건을 놓침 → 단순 일렬 3×2⁴=48로 풀면 오답
원형 배열임을 인식하지 못함 — 양 끝 연결 조건이 있으면 원형과 같은 구조!
⑤를 셀 때 ④만 고려하고 ①은 잊음 — ⑤는 ④와 ① 두 곳 모두와 달라야 함
공식 (k−1)ⁿ+(−1)ⁿ(k−1) 적용 시 부호 실수 — n=5(홀수)이므로 (−1)⁵ = −1, 즉 32−2=30
정답: 30