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평행 직선 위 점 · 넓이 2인 사각형
정답 (풀이 참조)
🔑 핵심 단서
구조 거리 1인 두 평행 직선, 각 직선 위 간격 1인 점 5개씩
조건 각 직선에서 2개씩 택하여 넓이가 2인 사각형 만들기
핵심 두 직선 사이 거리 = 1(높이 고정) → 넓이 = ½ × (윗변 + 아랫변) × 1 = 2 → 윗변 + 아랫변 = 4
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
네 꼭짓점이 두 평행선 위에 2개씩 있으므로 만들어지는 사각형은 사다리꼴(또는 평행사변형)입니다. 높이가 1로 고정이므로 넓이 조건은 “윗변 + 아랫변”으로 환원됩니다.
넓이 공식:
사다리꼴 넓이 = ½ × (윗변 + 아랫변) × 높이
= ½ × (윗변 + 아랫변) × 1 = 2
∴ 윗변 + 아랫변 = 4
윗변·아랫변 가능한 길이:
각 직선에서 2점 택하면 변의 길이 = 점 사이 거리 = 1, 2, 3, 4
합이 4가 되는 조합:
(윗변, 아랫변) = (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) — 0은 불가
즉 (1,3), (2,2), (3,1)
각 경우의 위치 수:
길이 k인 변을 만드는 위치: 5−k개 (5개 점에서 간격 k인 쌍)
· (1,3): 윗변 길이1→4곳, 아랫변 길이3→2곳 → 4×2 = 8
· (2,2): 3×3 = 9
· (3,1): 2×4 = 8
합: 8+9+8 = 25
단, 위 계산은 사다리꼴의 “위치”만 고려한 것입니다. 각 위치 조합마다 사각형이 하나씩 결정되므로 추가 경우 없습니다.
① 높이 1 고정
② 윗변+아랫변 = 4
③ 변 길이 조합: (1,3)(2,2)(3,1)
④ 위치 수 합산
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⚠️ 자주 하는 실수
사다리꼴 넓이 공식에서 ÷2를 빠뜨림 — ½×(윗변+아랫변)×높이
(4,0)을 포함 — 변의 길이가 0이면 사각형이 아니라 삼각형이므로 제외
길이 k인 변의 위치 수를 5개로 착각 — 간격 k인 쌍은 (5−k)개
윗변과 아랫변이 반드시 평행하다고 가정하지 않음 — 두 평행선 위의 점이므로 자동으로 평행
8+9+8 = 25