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2012년 03월 고1 학력평가 28번
정답 18
🔑 핵심 단서
조건 숫자 1, 2, 3으로 다섯 자리 자연수를 만들되, 같은 숫자가 이웃하지 않도록
추가 조건 만의 자리 숫자 = 일의 자리 숫자
구조 형태가 1□□□1, 2□□□2, 3□□□3 세 가지로 나뉨 → 양 끝 고정 후 가운데 세기
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
“만의 자리 = 일의 자리”라는 조건이 있으므로, 양 끝 숫자를 먼저 고정하면 문제가 단순해집니다. 양 끝이 같으므로 가능한 형태는 1□□□1, 2□□□2, 3□□□3 세 가지입니다.
각 형태에서 “이웃한 숫자가 같지 않은” 조건 하에 가운데 3자리를 채워야 합니다. 이것은 수형도(트리)로 체계적으로 셀 수 있습니다.
예를 들어 1□□□1 형태에서:
· 천의 자리: 1이 아닌 2 또는 3 (2가지)
· 백의 자리: 천의 자리와 다른 수 (2가지)
· 십의 자리: 백의 자리와 다르고 일의 자리(1)와도 달라야 함
수형도를 그려보면 각 형태마다 6가지씩 가능합니다.
세 형태는 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙: 6+6+6 = 18
① 양 끝 숫자 고정 (3형태)
② 수형도로 가운데 세기
③ 이웃 조건 확인
④ 합의 법칙
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⚠️ 자주 하는 실수
십의 자리에서 일의 자리와의 이웃 조건을 빠뜨림 — 십의 자리는 백의 자리 그리고 일의 자리 양쪽 모두와 달라야 함
“전부 또는 일부를 사용”을 “반드시 전부 사용”으로 오독 — 1, 2, 3 중 일부만 써도 됨
대칭성을 이용하지 않음 — 1□□□1, 2□□□2, 3□□□3 각각의 경우의 수가 동일(6개)하므로 하나만 정확히 세고 ×3
수형도 없이 곱의 법칙만으로 계산 — 십의 자리 선택지가 백·일 양쪽 조건에 걸려 단순 곱이 안 됨
6 × 3 = 18