마플시너지공수1답지 1438번 TOUGH 핵심 포인트

1438번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2023년 6월 고1 학력평가 27번)로, 자연수 n에 대해 연립부등식 |x−n|>2, x²−14x+40≤0을 만족시키는 자연수 x의 개수가 2가 되도록 하는 모든 n의 값의 합을 구하는 문제입니다.

① |x−n|>2의 해 — x−n<−2 또는 x−n>2이므로 x<n−2 또는 x>n+2 ……㉠.

② x²−14x+40≤0의 해 — (x−4)(x−10)≤0이므로 4≤x≤10 ……㉡.

③ ㉠, ㉡의 교집합에서 자연수 x가 정확히 2개 — n의 값에 따라 경우를 나눕니다.

④ (ⅰ) n≤5: n−2≤3이므로 ㉠의 x<n−2와 ㉡의 교집합은 공집합(4 이상이어야 하므로). n+2≤7이므로 x>n+2와 4≤x≤10의 교집합에서 자연수가 3개 이상 → 불만족.

⑤ (ⅱ) n≥9: n+2≥11이므로 x>n+2와 ㉡의 교집합은 공집합. n−2≥7이므로 x<n−2와 4≤x≤10의 교집합에서 자연수가 3개 이상 → 불만족.

⑥ (ⅲ) n=6: x<4 또는 x>8. ㉡과 교집합: 8<x≤10 → 자연수 9, 10 → 2개 ✓.

⑦ (ⅳ) n=7: x<5 또는 x>9. ㉡과 교집합: 4≤x<5 또는 9<x≤10 → 자연수 4, 10 → 2개 ✓.

⑧ (ⅴ) n=8: x<6 또는 x>10. ㉡과 교집합: 4≤x<6 → 자연수 4, 5 → 2개 ✓.

⑨ 모든 자연수 n의 값의 합: 6+7+8 = 21.

정답: 21.