마플시너지공수1답지 1362번 TOUGH 핵심 포인트

1362번은 9단원 이차부등식 TOUGH · 최다빈출 왕중요 문제로, 연립부등식 {x²−2x−8<0, x²−(a+1)x+a<0}을 만족시키는 정수 x가 오직 한 개 존재하도록 하는 상수 a의 최댓값을 구하는 문제입니다.

① x²−2x−8<0 풀기 — (x+2)(x−4)<0이므로 −2<x<4 ……㉠.

② x²−(a+1)x+a<0 풀기 — (x−a)(x−1)<0 ……㉡. a의 값에 따라 해가 달라지므로 a<1, a=1, a>1로 경우를 나눕니다.

③ a<1일 때 — ㉡의 해: a<x<1. 정수 x가 단 하나 존재하려면 −1≤a<0.

④ a=1일 때 — (x−1)²<0이므로 해가 없습니다.

⑤ a>1일 때 — ㉡의 해: 1<x<a. 정수 x가 단 하나 존재하려면 2<a≤3.

(i), (ii)에 의해 a의 범위는 −1≤a<0 또는 2<a≤3이므로 상수 a의 최댓값은 3.

정답: 3.