마플시너지공수1답지 1349번 TOUGH 연립이차부등식 핵심 포인트

1349번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 연립부등식 {x²−5x ≤ 0, x²−(a+1)x+a ≥ 0}을 만족하는 실수 x가 이차부등식 x²−x−6 < 0을 만족할 때 정수 a의 최솟값을 구하는 문제입니다.

① STEP A. 연립부등식의 해 구하기 — x²−5x ≤ 0에서 x(x−5) ≤ 0이므로 0 ≤ x ≤ 5 ⋯ ⓐ. x²−(a+1)x+a ≥ 0에서 (x−1)(x−a) ≥ 0 ⋯ ⓑ.

② ⓐ에서 x(x−5) ≤ 0, ⓑ에서 a > 1일 때 — (x−1)(x−a) ≥ 0에서 x ≤ 1 또는 x ≥ a. ⓐ와의 공통부분은 0 ≤ x ≤ 1 또는 a ≤ x ≤ 5입니다. 또한 x²−x−6 < 0에서 (x+2)(x−3) < 0이므로 −2 < x < 3 ⋯ ⓒ.

③ STEP B. 연립부등식의 해의 공통부분이 ⓒ의 범위 안에 있을 조건 — 연립부등식의 해가 ⓒ에 포함되려면 a ≤ x ≤ 5 부분이 −2 < x < 3 안에 있어야 하므로 a > 5이어야 합니다(이 부분이 공집합). 따라서 정수 a의 최솟값은 6 → ②번.