마플시너지공수1답지 1253번 TOUGH 이차함수 그래프 → 부등식 핵심 포인트

1253번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 이차함수 y = f(x)의 그래프가 주어진 그림과 같을 때 삼각형 ABC의 넓이가 6이고, f(x) + 12 ≥ 0을 만족시키는 정수 x의 개수를 구하는 문제입니다.

STEP A. 이차함수의 그래프에서 이차식 작성하기

그래프에서 BC = 4이고 삼각형 ABC의 넓이가 6이므로 (1/2)×4×AO = 6, AO = 3. 이차함수 y = f(x)의 그래프가 x축과 두 점 (−1, 0), (3, 0)에서 만나므로 y = a(x+1)(x−3) (a < 0)으로 놓을 수 있습니다.

이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로 3 = a(1)(−3) = −3a, a = −1. 따라서 f(x) = −(x+1)(x−3) = −x²+2x+3.

STEP B. 부등식 f(x) + 12 ≥ 0의 해 구하기

f(x)+12 = −x²+2x+3+12 = −x²+2x+15 ≥ 0. 양변에 −1을 곱하면 x²−2x−15 ≤ 0, (x+3)(x−5) ≤ 0. 따라서 −3 ≤ x ≤ 5.

STEP C. 정수 x의 개수 구하기

정수 x는 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5로 개수는 9.

정답: ③ 9