마플시너지 공통수학1 1212번 행복한 1등급 – 8단원 부등식, |x−n| + |x+1| ≤ n+5를 만족시키는 정수 x의 개수가 15가 되도록 하는 자연수 n
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 8단원 · 부등식과 방정식 |
| 🔢 문제번호 | 1212번 |
| 📋 유형 | 절댓값 부등식 · 정수 해 개수 |
| ⭐ 난이도 | 행복한 1등급 |
마플시너지공수1답지 1212번 행복한 1등급 핵심 포인트 [풀이 1 – 경우 분류]
1212번은 8단원 부등식 행복한 1등급 문제로, |x−n| + |x+1| ≤ n+5를 만족시키는 정수 x의 개수가 15가 되도록 하는 자연수 n의 값을 구하는 문제입니다.
STEP A. 범위를 나누는 기준이 되는 x의 값 구하기
절댓값 기호 안이 0이 되는 x의 값은 n, −1(n은 자연수이므로 −1 < n). 구간: (ⅰ) x < −1, (ⅱ) −1 ≤ x < n, (ⅲ) x ≥ n.
STEP B. x의 값의 범위에 따라 경우를 나누어 부등식의 해 구하기
(ⅰ) x < −1일 때: −(x−n)−(x+1) ≤ n+5, −2x ≤ 6, x ≥ −3. x < −1이므로 −3 ≤ x < −1.
(ⅱ) −1 ≤ x < n일 때: −(x−n)+(x+1) ≤ n+5, n+1 ≤ n+5, 1 ≤ 5. 항상 성립하므로 −1 ≤ x < n.
(ⅲ) x ≥ n일 때: (x−n)+(x+1) ≤ n+5, 2x ≤ 2n+4, x ≤ n+2. x ≥ n이므로 n ≤ x ≤ n+2.
(ⅰ)~(ⅲ)에서 부등식의 해는 −3 ≤ x ≤ n+2.
STEP C. 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수가 15일 때의 n의 값 구하기
−3 ≤ x ≤ n+2를 만족시키는 정수 x의 개수는 (n+2)−(−3)+1 = n+6. n+6 = 15이므로 n = 9.
정답: 9
다른 풀이 [풀이 2 – 그래프를 이용하여 풀이하기]
STEP A. 곡선 y = |x−n| + |x+1|의 그래프 그리기
(ⅰ) x < −1일 때: y = −2x+n−1. (ⅱ) −1 ≤ x < n일 때: y = n+1(상수). (ⅲ) x ≥ n일 때: y = 2x−n+1. 이 꺾인선 그래프는 −1 ≤ x ≤ n에서 최솟값 y = n+1을 가집니다.
STEP B. 직선 y = n+5와의 위치관계로 해 구하기
|x−n|+|x+1| ≤ n+5의 해는 곡선이 직선 y = n+5 이하인 x의 범위입니다. 그래프에서 −2x+n−1 = n+5를 풀면 x = −3, 2x−n+1 = n+5를 풀면 x = n+2. 따라서 해는 −3 ≤ x ≤ n+2.
정수 x의 개수 = n+6 = 15 → n = 9.
📌 두 풀이법 비교: 풀이 1(경우 분류)은 전통적인 절댓값 해석으로 서술형에 적합합니다. 풀이 2(그래프)는 꺾인선 그래프와 수평선의 교점으로 해를 구하는 시각적 방법으로, 특히 “정수 해의 개수” 유형에서 범위를 즉시 파악할 수 있어 효율적입니다. |x−a|+|x−b| 꼴은 a ≤ x ≤ b에서 y = |b−a|(상수)가 되는 성질을 기억하면 더욱 빠릅니다.
1212번 행복한 1등급 엄선 풀이영상
▲ 8단원 부등식 행복한 1등급 · |x−n|+|x+1|≤n+5 → −3≤x≤n+2 → 정수 n+6=15개 → n=9 1212번 전 과정 해설
1212번 답지 확인
