마플시너지공수1답지 1110번 서술형 삼차방정식 허근 대입·복소수 분리 핵심 포인트

1110번은 7단원 고차방정식 서술형 기출유형으로, 계수가 실수인 삼차방정식 x³+ax²+7x+b=0의 한 근이 1+2i일 때, 실수 a, b의 값을 구하고 인수정리와 조립제법을 이용하여 나머지 두 근을 구하는 문제입니다.

① 1단계 · x=1+2i를 대입하여 실수·허수 분리 [4점] — x=1+2i를 대입하면 (1+2i)³+a(1+2i)²+7(1+2i)+b=0. 전개하면 (−3a+b−4)+(4a+12)i=0. a, b가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 −3a+b−4=0, 4a+12=0.

② 2단계 · a, b 구하기 [2점] — 4a+12=0에서 a=−3. −3(−3)+b−4=0에서 9+b−4=0, a=−3, b=−5.

③ 3단계 · 인수정리와 조립제법으로 나머지 두 근 구하기 [4점] — f(x)=x³−3x²+7x−5. f(1)=1−3+7−5=0이므로 f(x)는 x−1을 인수로 갖습니다. 조립제법으로 f(x)=(x−1)(x²−2x+5). x²−2x+5=0에서 x=1±2i. 따라서 나머지 두 근은 1, 1−2i.

정답: 나머지 두 근 1, 1−2i.