마플시너지공수1답지 1109번 서술형 사차방정식 치환·켤레곱 핵심 포인트

1109번은 7단원 고차방정식 서술형 기출유형으로, 사차방정식 (x²+x−1)(x²+x+3)−5=0에서 x²+x=X로 치환하여 인수분해하고, 서로 다른 두 허근 α, β에 대해 αᾱ+ββ̄의 값을 구하는 문제입니다.

① 1단계 · x²+x=X로 치환하여 인수분해 [3점] — (x²+x−1)(x²+x+3)−5=0에서 X=x²+x로 놓으면 (X−1)(X+3)−5=0, X²+2X−8=0, (X+4)(X−2)=0. 따라서 X=−4 또는 X=2이므로 x²+x=−4 또는 x²+x=2. 즉 (x²+x+4)(x²+x−2)=0, (x²+x+4)(x+2)(x−1)=0.

② 2단계 · 허근 α, β 구하기 [3점] — 사차방정식 (x²+x+4)(x+2)(x−1)=0에서 x=1, −2는 실근입니다. α, β는 x²+x+4=0의 서로 다른 두 허근이며, 판별식 D=1−16=−15<0이므로 x=(−1±√15·i)/2.

③ 3단계 · αᾱ+ββ̄ 구하기 [4점] — α의 켤레복소수는 β이고 β의 켤레복소수는 α이므로 αᾱ=αβ̄=αβ? 아닙니다. 여기서 ᾱ=β이므로 αᾱ=αβ입니다. 이차방정식 x²+x+4=0의 근과 계수의 관계에 의하여 αβ=4. 따라서 αᾱ+ββ̄=αβ+βα=2αβ=2×4=8.

정답: 8.