마플시너지공수1답지 1108번 서술형 삼차방정식 중근 조건 핵심 포인트

1108번은 7단원 고차방정식 서술형 기출유형으로, 삼차방정식 x³−(a−3)x²+ax−4=0이 중근을 갖도록 하는 실수 a의 값을 모두 구하는 문제입니다.

① 1단계 · 조립제법으로 인수분해 [5점] — f(x)=x³−(a−3)x²+ax−4로 놓으면 f(1)=1−(a−3)+a−4=1−a+3+a−4=0이므로 f(x)는 x−1을 인수로 갖습니다. 조립제법으로 f(x)=(x−1){x²+(4−a)x+4}.

② 2단계 · 중근 조건 분석 [5점] — 삼차방정식이 중근을 가지려면 다음 두 경우 중 하나입니다.

(ⅰ) x=1이 이차방정식 x²+(4−a)x+4=0의 한 근일 때 — x=1을 대입하면 1+(4−a)+4=0, a=9.

(ⅱ) 이차방정식 x²+(4−a)x+4=0이 중근을 가질 때 — 판별식 D=(4−a)²−16=0, a²−8a=0, a(a−8)=0이므로 a=0 또는 a=8. a=8일 때 중근 x=−2이고, a=0일 때 중근 x=−2인데, a=8일 때도 a=9일 때도 조건 만족.

(ⅰ), (ⅱ)에서 a=0, 8, 9이지만, a=9일 때도 확인하면 x²−5x+4=(x−1)(x−4)=0이므로 x=1(중근), x=4. 조건 만족. 따라서 a=0, 8, 9.

정답: a=0, 8, 9.