마플시너지공수1답지 1068번 TOUGH 연립방정식 해 → 다각형 넓이 핵심 포인트

1068번은 7단원 고차방정식 TOUGH로, 연립방정식 x+y+xy=11, x²y+xy²=30을 만족하는 실수 x, y를 좌표평면 위의 점 (x, y)로 나타낼 때, 이 점들을 꼭짓점으로 하는 다각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

① STEP A · u=x+y, v=xy로 치환 — u+v=11, uv=30이므로 v=−u+11을 대입하면 u²−11u+30=0, (u−5)(u−6)=0 → u=5 또는 u=6.

② STEP B · 각 경우 x, y 구하기 — (i) u=5, v=6일 때 t²−5t+6=0 → (2,3),(3,2). (ii) u=6, v=5일 때 t²−6t+5=0 → (1,5),(5,1).

③ STEP C · 다각형 넓이 — 네 점 (2,3),(3,2),(1,5),(5,1)을 좌표평면에 놓으면 사각형. 신발끈 공식으로 넓이 = 5/2.

정답: ③번 (5/2).