마플시너지공수1답지 1067번 TOUGH 연립방정식 αβ 최댓값 핵심 포인트

1067번은 7단원 고차방정식 TOUGH(최다빈출 왕중요)로, 연립방정식 xy+x+y=5, x²+y²=25의 해를 x=α, y=β라 할 때, αβ의 최댓값을 구하는 문제입니다.

① STEP A · x+y=a, xy=b로 치환 — a+b=5, a²−2b=25이므로 b=5−a를 대입하면 a²+2a−35=0, (a+7)(a−5)=0 → a=−7 또는 a=5.

② STEP B · 각 경우 x, y 구하기 — (i) a=−7, b=12일 때 t²+7t+12=0 → (t+4)(t+3)=0 → (x,y)=(−4,−3) 또는 (−3,−4). (ii) a=5, b=0일 때 t²−5t=0 → (x,y)=(0,5) 또는 (5,0).

③ αβ의 최댓값 — αβ=xy의 가능한 값: 12, 0. 따라서 최댓값은 12.

정답: ③번 (12).