마플시너지공수1답지 1046번 TOUGH x²−x+1=0 근 ω, 급수 합 핵심 포인트

1046번은 7단원 고차방정식 TOUGH로, 방정식 x²−x+1=0의 한 근이 ω일 때, (ω+1/ω)²+(ω²+1/ω²)²+…+(ω²⁰+1/ω²⁰)²의 값을 구하는 문제입니다.

① STEP A · 기본 성질 — ω²−ω+1=0에서 양변에 ω+1을 곱하면 ω³+1=0 → ω³=−1. ω+1/ω=(ω²+1)/ω=ω/ω=1.

② ωⁿ+1/ωⁿ의 주기 파악 — ω+1/ω=1, ω²+1/ω²=−1, ω³+1/ω³=−2, ω⁴+1/ω⁴=−1, ω⁵+1/ω⁵=1, ω⁶+1/ω⁶=2. 주기 6으로 반복: {1, −1, −2, −1, 1, 2}.

③ STEP B · 제곱의 합 — 한 주기의 제곱합: 1²+(−1)²+(−2)²+(−1)²+1²+2²=1+1+4+1+1+4=12. 그런데 n=1~20에서 완전한 주기 3번(n=1~18)과 나머지 n=19,20. 18/6=3주기 → 3×(1²+1²+4²)는 아니고… n=1~6 한주기 제곱합=1+1+4+1+1+4=12. 3주기=36. n=19: ω¹⁹+1/ω¹⁹ → 19 mod 6=1 → 1² =1. n=20: 20 mod 6=2 → (−1)²=1. 합=36+1+1=38.

정답: ③번 (38).