마플시너지공수1답지 1045번 TOUGH x³+1=0 허근 ω 보기 판단 핵심 포인트

1045번은 7단원 고차방정식 TOUGH로, 삼차방정식 x³+1=0의 한 허근을 ω라 할 때, 보기 ㄱ(ω²+ω̄²=1), ㄴ(1/ω+1/ω̄=1), ㄷ(1+1/ω+1/ω²+…+1/ω⁶⁰⁰=1)의 참·거짓을 판단하는 문제입니다.

① 기본 성질 — x³+1=0에서 (x+1)(x²−x+1)=0. ω는 x²−x+1=0의 허근이므로 ω³=−1, ω²−ω+1=0. 근과 계수의 관계: ω+ω̄=1, ωω̄=1.

② ㄱ. ω²+ω̄²=(ω+ω̄)²−2ωω̄=1−2=−1≠1 [거짓]

③ ㄴ. 1/ω+1/ω̄ [참] — ωω̄=1이므로 ω=1/ω̄, ω̄=1/ω. 따라서 1/ω+1/ω̄=ω̄+ω=1.

④ ㄷ. 등비급수 합 [참] — ωω̄=1에서 1/ω=ω̄. 1/ω부터 1/ω⁶까지의 합은 ω̄+ω̄²+…+ω̄⁶=0 (ω⁶=1이므로 6개 근의 합). 600=6×100이므로 1+1/ω+…+1/ω⁶⁰⁰=1+100×0=1.

옳은 것: ㄴ, ㄷ → ④번.