마플시너지공수1답지 1033번 TOUGH x³=1 허근 ω 보기 판단 (학평) 핵심 포인트

1033번은 7단원 고차방정식 TOUGH(2017년 11월 고1 학평 18번)로, 삼차방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때 보기 ㄱ(ω̄³=1), ㄴ(1/ω+(1/ω)²=1/ω̄+(1/ω̄)²), ㄷ((−ω−1)ⁿ=(ω̄/(ω+ω̄))ⁿ을 만족하는 100 이하 자연수 n의 개수 50)의 참·거짓을 판단하는 문제입니다.

① STEP A · 기본 성질 — x³=1에서 (x−1)(x²+x+1)=0. ω는 x²+x+1=0의 근이므로 ω²+ω+1=0, ω³=1. 켤레근은 ω̄이고 ω+ω̄=−1, ωω̄=1.

② ㄱ. ω̄³=1 [참] — ω̄³+ω̄+1=0에서 (ω̄−1)(ω̄²+ω̄+1)=0. ω̄²+ω̄+1=0이므로 ω̄−1≠0 → ω̄³=1.

③ ㄴ. 1/ω+(1/ω)²=1/ω̄+(1/ω̄)² [참] — ωω̄=1이므로 1/ω=ω̄, 1/ω̄=ω. 따라서 ω+1/ω²=ω̄+1/ω̄² 양변이 각각 (ω+1)/ω²=−ω²/ω²=−1로 같음.

④ ㄷ. (−ω−1)ⁿ=(ω̄/(ω+ω̄))ⁿ을 만족하는 100 이하 자연수 n [참] — (좌변)=(−(ω+1))ⁿ=(ω²)ⁿ. (우변)=(ω̄/(−1))ⁿ=(−1/ω)ⁿ×(1/ω)ⁿ=(−1)ⁿ(ω²)ⁿ. 등식 성립 조건: (−1)ⁿ=1 → n은 짝수. 100 이하 짝수는 50개.

옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄷ → ⑤번.