마플시너지공수1답지 1031번 TOUGH x³=1 허근 ω 보기 판단 핵심 포인트

1031번은 7단원 고차방정식 TOUGH(최다빈출 왕중요)로, 방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때 보기 ㄱ(ω⁶+ω⁵+ω⁴=0), ㄴ((1+ω)/ω²+(1+ω̄)/ω̄²=−2), ㄷ((ω+1)⁴ⁿ+ω⁴ⁿ+1=0을 만족하는 90 이하 자연수 n의 개수 60)의 참·거짓을 판단하는 문제입니다.

① 기본 성질 — ω³=1, ω²+ω+1=0, ω+ω̄=−1, ωω̄=1, ω̄=ω².

② ㄱ. ω⁶+ω⁵+ω⁴=1+ω²+ω=0 [참] — ω⁴(ω²+ω+1)=0으로도 확인 가능.

③ ㄴ. (1+ω)/ω²+(1+ω̄)/ω̄²=−2 [참] — 1+ω=−ω²이므로 −ω²/ω²=−1, 마찬가지로 1+ω̄=−ω̄²이므로 −ω̄²/ω̄²=−1. 합은 −2.

④ ㄷ. (ω+1)⁴ⁿ+ω⁴ⁿ+1을 3으로 나눈 나머지로 분류 [참] — ω²ⁿ+ωⁿ+1을 n≡0,1,2(mod 3)으로 나누면: n=3k일 때 3(≠0), n=3k+1일 때 ω²+ω+1=0, n=3k+2일 때 ω+ω²+1=0. 따라서 n이 3의 배수가 아닌 경우 성립. 90 이하에서 3의 배수 30개를 빼면 90−30=60개.

옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄷ → ⑤번.