마플시너지공수1답지 1030번 TOUGH x³=1 허근 ω 보기 판단 핵심 포인트

1030번은 7단원 고차방정식 TOUGH로, 방정식 x³=1의 한 허근을 ω라 할 때, 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참·거짓을 판단하는 문제입니다.

① 기본 성질 정리 — x³=1에서 x³−1=0, (x−1)(x²+x+1)=0. ω가 허근이므로 ω²+ω+1=0, ω³=1. 켤레근 ω̄도 x²+x+1=0의 근이므로 ω+ω̄=−1, ωω̄=1, ω̄=1/ω=ω³/ω=ω².

② ㄱ. ω²/(ω⁷+ω⁶)+1/(ω⁵+ω⁴)=−2 [참] — ω⁷+ω⁶=ω+1=−ω², ω⁵+ω⁴=ω²+ω=−1이므로 ω²/(−ω²)+1/(−1)=−1+(−1)=−2.

③ ㄴ. ω¹⁰⁰+1/ω¹⁰⁰=−1 [참] — ω¹⁰⁰=(ω³)³³·ω=ω이므로 ω+1/ω=(ω²+1)/ω=−ω/ω=−1.

④ ㄷ. (1+ω)¹⁰+(1+ω̄)¹⁰=−1 [참] — 1+ω=−ω², 1+ω̄=−ω̄²이므로 (−ω²)¹⁰+(−ω̄²)¹⁰=ω²⁰+ω̄²⁰=ω²+ω=−1.

옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄷ → ⑤번.