🔥 TOUGH
📋 2022년 3월 고2 학평 16번
마플시너지 공통수학1 0963번 TOUGH – 7단원 고차방정식, x³ − x² − kx + k = 0의 세 근 α, β, γ에서 α, β 중 실수 하나뿐이고 α² = −2β일 때 β² + γ² 구하기
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 7단원 · 고차방정식 |
| 🔢 문제번호 | 0963번 |
| 📋 출처 | 2022년 03월 고2 학력평가 16번 |
| ⭐ 유형 | TOUGH |
마플시너지공수1답지 0963번 TOUGH 삼차방정식 근 조건 핵심 포인트
0963번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제(2022년 3월 고2 학평 16번)로, x³ − x² − kx + k = 0의 세 근 α, β, γ에서 α, β 중 실수는 하나뿐이고 α² = −2β일 때 β² + γ²를 구하는 문제입니다. 공통인수 묶기로 인수분해 후 근의 성질을 분석합니다.
① 인수분해 — x³ − x² − kx + k = x²(x − 1) − k(x − 1) = (x − 1)(x² − k) = 0이므로 x = 1 또는 x² = k입니다.
② k < 0 결정 — α, β 중 실수가 하나뿐이므로 방정식이 허근을 가져야 합니다. x² = k에서 k ≥ 0이면 모든 근이 실수이므로 조건 불만족. 따라서 k < 0이고, 실근은 x = 1뿐입니다.
③ 경우 분석 — (ⅰ) α = 1일 때: α² = 1 = −2β에서 β = −1/2(실수) → α, β 모두 실수이므로 불만족. (ⅱ) β = 1일 때: α² = −2β = −2(허수) → α는 허근 ✓. 이때 α, γ는 x² = k의 근이므로 k = α² = −2, γ² = k = −2.
따라서 β² + γ² = 1² + (−2) = −1입니다. (⑤번)
0963번 TOUGH 엄선 풀이영상
▲ 7단원 고차방정식 TOUGH · (x−1)(x²−k)=0 → k<0 → β=1, α²=−2, γ²=−2 → β²+γ²=−1 0963번 전 과정 해설
0963번 답지 확인
