마플시너지공수1답지 0952번 TOUGH 복소수 근·켤레복소수 조건 핵심 포인트

0952번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제(2019년 3월 고2 학평 나형 14번)로, 복소수 z = a + bi가 (가) x³ − 3x² + 9x + 13 = 0의 근이고 (나) (z − z̄)/i가 음의 실수일 때 a + b를 구하는 문제입니다. 조립제법으로 인수분해 후, 켤레복소수 조건으로 허근을 선별합니다.

① 삼차식 인수분해 — f(x) = x³ − 3x² + 9x + 13에서 f(−1) = −1 − 3 − 9 + 13 = 0이므로 조립제법으로 f(x) = (x + 1)(x² − 4x + 13)을 얻습니다.

② 세 근 구하기 — x = −1 또는 x² − 4x + 13 = 0에서 x = 2 ± 3i입니다. 삼차방정식의 세 근은 −1, 2 + 3i, 2 − 3i입니다.

③ 조건 (나)로 z 결정 — z = a + bi일 때 (z − z̄)/i = (2bi)/i = 2b입니다. 이것이 음의 실수이므로 b < 0입니다. 또한 z = −1이면 b = 0이므로 (z − z̄)/i = 0(음수 아님)으로 제외됩니다. 따라서 z = 2 − 3i, a = 2, b = −3이고 a + b = 2 + (−3) = −1입니다. (②번)