마플시너지공수1답지 0936번 행복한 1등급 경우분류 핵심 포인트

0936번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제(2023년 6월 학평 20번)로, f(x) = (x − a)²이 조건 (가) 2 ≤ x ≤ 10에서 최솟값 0, (나) 2 ≤ x ≤ 6에서 최댓값과 6 ≤ x ≤ 10에서 최솟값이 같다는 조건을 모두 만족하는 a의 범위에서 f(−1)의 최댓값 M, 최솟값 m을 구해 M + m을 계산하는 문제입니다. 꼭짓점 위치에 따라 a를 경우분류하는 것이 핵심입니다.

① 조건 (가)에서 a의 범위 — f(x) = (x − a)²의 최솟값이 0이려면 꼭짓점 x = a가 구간 [2, 10] 안에 있어야 하므로 2 ≤ a ≤ 10입니다.

② 경우 (ⅰ) a = 2 — [2, 6]에서 최댓값 = f(6) = 16, [6, 10]에서 최솟값 = f(6) = 16으로 같으므로 조건 (나) 만족. f(−1) = (−3)² = 9.

③ 경우 (ⅱ) 2 < a ≤ 6 — [2, 6] 최댓값은 f(2) 또는 f(6), [6, 10] 최솟값은 f(6)입니다. 조건 (나) ⇒ f(2) ≤ f(6), 즉 (2 − a)² ≤ (6 − a)²에서 a ≤ 4. 따라서 2 < a ≤ 4이고, f(−1) = (−1 − a)²이므로 9 < f(−1) ≤ 25입니다.

④ 경우 (ⅲ) 6 < a ≤ 10 — [6, 10] 최솟값 = 0(꼭짓점 포함), [2, 6] 최댓값 = f(2) > 0이므로 조건 (나) 불만족.

종합하면 9 ≤ f(−1) ≤ 25이므로 M = 25, m = 9, M + m = 34입니다. (①번)