마플시너지공수1답지 0935번 행복한 1등급 부채꼴·원 넓이 최댓값 핵심 포인트

0935번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제(2024년 6월 학평 29번)로, 반지름 1, 중심각 90°인 부채꼴 OAB에서 호 AB 위의 점 C, BC를 지름으로 하는 원, BC 중점 M을 지나고 OB에 평행한 직선이 원과 만나는 점 P에 대해 삼각형 OAP 넓이 S(x)의 최댓값을 구하는 고난도 기하+이차함수 융합 문제입니다.

① BC = x일 때 OM 구하기 — BC의 중점 M은 원의 중심이고, 삼각형 OCB는 이등변(OB = OC = 1)이므로 OM ⊥ BC입니다. BM = x/2이므로 피타고라스 정리에 의해 OM = √(1 − x²/4)입니다.

② 삼각형 OAP의 높이 구하기 — M을 지나고 OB에 평행한 직선이 OA와 만나는 점을 H라 하면, 삼각형 BOM과 삼각형 OMH가 닮음이므로 MH = 1 − x²/4입니다. 삼각형 OAP의 높이 PH = PM + MH = x/2 + (1 − x²/4) = −x²/4 + x/2 + 1입니다.

③ S(x)의 최댓값 — S(x) = (1/2) × OA × PH = (1/2)(−x²/4 + x/2 + 1) = −x²/8 + x/4 + 1/2 = −(1/8)(x − 1)² + 5/8입니다. 0 < x < √2에서 x = 1일 때 최댓값 5/8이므로, p = 8, q = 5이고 p + q = 13입니다.