마플시너지공수1답지 0931번 행복한 1등급 정수점 개수 핵심 포인트

0931번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제(2022년 6월 학평 19번)로, y = x² − 3x + 1의 그래프와 직선 y = x + 2로 둘러싸인 도형 내부에서 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점(격자점)의 개수를 구하는 문제입니다. 교점의 x좌표 범위를 구한 뒤, 정수 x값마다 y의 범위를 조사하여 하나씩 세는 전략이 핵심입니다.

발상 포인트: ① 교점의 x좌표 — x² − 3x + 1 = x + 2에서 x² − 4x − 1 = 0이므로, x = 2 ± √5입니다. 2 − √5 ≈ −0.24, 2 + √5 ≈ 4.24이므로, 도형 내부의 정수 x(= p)는 0, 1, 2, 3, 4입니다.

② 내부 조건 — 도형 내부는 포물선 위이고 직선 아래이므로, x² − 3x + 1 < q < x + 2를 만족하는 정수 q를 셉니다.

③ x값별 계산 — p = 0: 1 < q < 2 → 정수 없음(0개), p = 1: −1 < q < 3 → (1,0), (1,1), (1,2) 3개, p = 2: −1 < q < 4 → (2,0), (2,1), (2,2), (2,3) 4개, p = 3: 1 < q < 5 → (3,2), (3,3), (3,4) 3개, p = 4: 5 < q < 6 → 정수 없음(0개). 총 3 + 4 + 3 = 10개입니다. (⑤번)