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[답지나라개념사전]
이차방정식 근의 판별
고등수학 · Ⅲ 방정식 · 이차방정식과 고차방정식
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핵심 정의
판별식 $D$란?
$ax^2 + bx + c = 0$에서 근의 종류를 풀지 않고 판별하는 식
$D = b^2 – 4ac$
$b$가 짝수($b = 2b’$)일 때: $\dfrac{D}{4} = b’^2 – ac$
풀이 핵심
$D$의 부호 → 근의 종류
$D > 0$ → 서로 다른 두 실근
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ (두 값 다름)
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ (두 값 다름)
$D = 0$ → 중근 (같은 두 실근)
$x = \dfrac{-b}{2a}$ (하나로 합쳐짐)
$x = \dfrac{-b}{2a}$ (하나로 합쳐짐)
$D < 0$ → 서로 다른 두 허근 (켤레)
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}\,i}{2a}$
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}\,i}{2a}$
적용 예제
판별식 활용 예제
$x^2 – 6x + k = 0$이 중근을 가질 $k$의 값은?
$D = 36 – 4k = 0$
$k = 9$
$k = 9$
$2x^2 + 3x + 5 = 0$의 근의 종류는?
$D = 9 – 40 = -31 < 0$
서로 다른 두 허근
서로 다른 두 허근
⚠ 주의
“실근을 가질 조건” 주의
• 서로 다른 두 실근 → $D > 0$
• 실근을 가짐 (중근 포함) → $D \geq 0$
문제에서 “실근”과 “서로 다른 실근”을 구분하세요!
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