📘 답지나라개념사전 · 고등수학 개념 총정리
개념 022
공통부분이 있는 식의 인수분해
Ⅰ. 다항식 > 3. 인수분해 > 022 공통부분 인수분해
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💡 핵심 개념
식 안에 반복되는 공통부분이 있으면, 그 부분을 하나의 문자로 치환하여 인수분해합니다. 답지나라개념사전에서 정리하는 치환법은 복잡한 식의 차수를 낮추거나 구조를 단순하게 만들어, 기존 인수분해 공식을 쉽게 적용할 수 있도록 도와줍니다. 식을 처음 보았을 때 “반복되는 덩어리가 있는가?”를 확인하는 습관이 중요합니다.
핵심 방법
치환법
📋 풀이 순서 (3단계)
1치환 : 공통부분을 $X$로 놓고, 주어진 식을 $X$에 대한 식으로 바꿉니다.
2인수분해 : $X$에 대한 새 식을 기존 공식으로 인수분해합니다.
3대입 : $X$ 자리에 원래의 식을 다시 넣어 최종 결과를 정리합니다.
✏️ 대표 예시
문제) $(x+2y)^2+2(x+2y)-3$을 인수분해하시오.
$x+2y=X$로 치환하면
$X^2+2X-3=(X+3)(X-1)$
$X$에 $x+2y$를 대입하면
$=(x+2y+3)(x+2y-1)$
치환 덕분에 복잡한 식이 간단한 이차식 $X^2+2X-3$으로 바뀌어 쉽게 인수분해할 수 있습니다. 치환 전에는 전체가 4차식처럼 보이지만, 공통부분을 묶으면 실질적으로 2차식으로 내려갑니다.
✏️ 추가 예시
문제) $(x^2-4x)(x^2-4x-8)+12$를 인수분해하시오.
$x^2-4x=X$로 치환하면
$X(X-8)+12=X^2-8X+12$
$=(X-2)(X-6)$
$X$에 $x^2-4x$를 대입하면
$=(x^2-4x-2)(x^2-4x-6)$
⚡ 실전 판단 기준
🔸 식이 복잡하면 → 반드시 $X$로 치환하여 작성
🔹 식이 간단하면 → 머릿속으로 한 문자처럼 생각하고 생략 가능
🎯 포인트
공통부분이 보이면 “이걸 한 덩어리로 보면 어떤 꼴이 될까?”를 먼저 생각하세요. 치환은 필수가 아니라 편의를 위한 도구입니다. 간단한 경우는 머릿속으로 처리해도 되고, 복잡할 때만 실제로 $X$를 써서 풀면 됩니다. 시험에서는 치환 과정을 명시적으로 쓰는 것이 감점을 피하는 데 유리합니다.
⚠️ 자주 하는 실수
⚠️ 주의
치환 후 인수분해까지만 하고 원래 식을 대입하는 3단계를 빠뜨리는 실수가 많습니다. 최종 답은 반드시 원래 문자($x$, $y$ 등)로 표현해야 하며, $X$가 남아있는 상태는 정답이 아닙니다.
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본 콘텐츠는 교육 목적으로 제작되었습니다.
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