개념 646: x가 a로 다가갈 때 함수의 수렴

함수의 수렴이란?

함수 $f(x)$에서 변수 $x$의 값이 $a$는 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때, $f(x)$의 값이 어떤 일정한 값 $L$에 한없이 다가간다면, 함수 $f(x)$는 $L$에 수렴한다고 말합니다.

이때 값 $L$을 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 극한값 또는 극한이라고 부르며, 다음과 같은 기호로 나타냅니다.

$$ \lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{또는} \quad x \to a \text{일 때 } f(x) \to L $$

여기에 [함수의 수렴을 보여주는 기본 그래프] 이미지를 넣어주세요.

주목!

$x \to a$라는 기호는 “$x$가 $a$에 한없이 가까워진다”는 의미이며, “$x$와 $a$가 같다($x=a$)”는 뜻은 절대 아닙니다.
기호 $\lim$은 ‘극한’을 의미하는 영어 ‘limit’의 약자이며, ‘리미트’라고 읽습니다.

개념정리

함수의 극한에서 가장 중요한 것은 $x$가 특정 값 $a$에 딱 도달했을 때의 ‘함숫값’이 아니라, $a$라는 목표를 향해 다가갈 때 $f(x)$가 과연 어떤 값에 가까워지는지, 그 ‘향하는 목표 지점’을 관찰하는 것입니다.

실생활 예시: 네비게이션으로 목적지를 설정하고 운전하는 상황을 생각해봅시다. 목적지가 ‘서울역'($L$)이라고 할 때, 차($x$)가 서울역 바로 앞 공사구간($a$) 때문에 진입하지 못하더라도, 우리의 최종 목적지가 ‘서울역’이라는 사실은 변하지 않습니다. 이처럼, $x=a$에서 함수가 정의되지 않더라도 극한값은 존재할 수 있습니다.

예시 1: 함수가 정의된 경우

함수 $f(x) = 2x – 1$이 있다고 해봅시다. $x$의 값이 2에 한없이 가까워질 때 $f(x)$의 값은 어떻게 될까요? 그래프에서 볼 수 있듯, $x$가 2를 향해 다가가면 $f(x)$의 값은 3에 가까워집니다. 따라서 $x=2$에서의 극한값은 3입니다.

$$ \lim_{x \to 2} (2x-1) = 3 $$

예시 2: 함수가 정의되지 않은 경우

이번엔 함수 $g(x) = \frac{x^2 – 9}{x – 3}$를 살펴봅시다. 이 함수는 분모가 0이 되는 $x=3$에서 정의되지 않습니다. 즉, 함숫값 $g(3)$은 존재하지 않죠. 하지만 $x$가 3이 아닌 다른 값이면서 3에 가까워질 때는 어떻게 될까요?

$x \ne 3$일 때, $g(x)$를 약분하면 $g(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$이 됩니다. 즉, $x=3$에 구멍이 뚫린 $y=x+3$ 그래프와 같습니다. $x$가 3에 가까워지면 $g(x)$는 $3+3=6$에 가까워집니다. 따라서 $x=3$에서의 극한값은 6입니다.

$$ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6 $$

여기에 [함숫값이 정의되지 않아도 극한값이 존재하는 함수의 그래프] 이미지를 넣어주세요.

주목!

상수함수 $f(x) = c$ ($c$는 상수)의 경우, $x$가 어떤 값 $a$에 가까워지든 상관없이 함숫값은 항상 $c$입니다. 따라서 상수함수의 극한값은 항상 그 상수값과 같습니다.

$$ \lim_{x \to a} c = c $$

개념확인문제

다음 극한값을 그래프를 이용하여 구해보세요.

함수 $f(x) = x+4$에 대하여 $\lim_{x \to 1} f(x)$의 값은?
함수 $f(x) = 5$에 대하여 $\lim_{x \to -2} f(x)$의 값은?
함수 $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$에 대하여 $\lim_{x \to 2} f(x)$의 값은?

기초를 잡아주는 연산문제

다음 극한값을 계산하세요.

$\lim_{x \to 2} (x+5)$
$\lim_{x \to 1} (3x^2 – x + 2)$
$\lim_{x \to -1} (x^3 + 4x)$
$\lim_{x \to 0} (2025)$
$\lim_{x \to 3} \frac{x+1}{x-1}$
$\lim_{x \to 10} \sqrt{x-1}$
$\lim_{h \to 0} (10 + 3h)$
$\lim_{t \to -2} (t^2 – t)$
$\lim_{x \to 5} (x^2 – 25)$
$\lim_{x \to -3} (-2x + 1)$
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$
$\lim_{x \to -2} \frac{x^2+x-2}{x+2}$
$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{x^2-16}$
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{x}$
$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$
$\lim_{x \to 3} 100$
$\lim_{y \to 2} (y^2+y-1)$
$\lim_{x \to -1} \frac{x^3+1}{x+1}$
$\lim_{x \to 1/2} (4x^2)$
$\lim_{x \to 5} \frac{x^2-6x+5}{x-5}$

실력을 잡아주는 유형문제

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax-3}{x-1} = 5$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
함수 $f(x) = \begin{cases} x+3 & (x \ge 2) \\ -x+k & (x < 2) \end{cases}$ 에 대하여 $\lim_{x \to 2} f(x)$의 극한값이 존재하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{x}$의 값을 구하시오. (힌트: 분자를 유리화하세요.)
$\lim_{x \to -3} \frac{2x^2+5x-3}{x^2-9}$의 값을 구하시오.
여기에 [유형문제 5번의 그래프] 이미지를 넣어주세요.

위 함수 $y=f(x)$의 그래프를 보고 $\lim_{x \to -1} f(x) + \lim_{x \to 1} f(x)$의 값을 구하시오.
$\lim_{x \to 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}$의 값을 구하시오. (힌트: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$)
두 함수 $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2-1$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x)-f(2)g(2)}{x-2}$의 값을 구하시오.
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{\sqrt{x+4}} \right)$의 값을 구하시오.
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $3x^2-1 \le f(x) \le 3x^2+5$를 만족할 때, $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2+1}$의 값을 구하시오. (샌드위치 정리)
$\lim_{x \to 2} \frac{ax^3+b}{x-2} = 12$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오.

일등급을 만들어주는 응용문제

곡선 $y=x^2$ 위의 점 P$(t, t^2)$과 원점 O를 지나는 직선이 있다. 이 직선에 수직이고 점 P를 지나는 직선이 y축과 만나는 점을 Q라고 할 때, 점 P가 원점 O에 한없이 가까워질 때 점 Q는 어떤 점에 가까워지는지 그 y좌표를 구하시오. (단, $t \ne 0$)
함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x-1} = 3$을 만족시킨다. 이때, $g(x) = x^2 f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1}$의 값을 구하시오. (미분계수의 정의와 연관지어 생각해보세요.)
함수 $f(a) = \lim_{x \to a} \frac{x^3 – (a+1)x^2 + (a+2)x – 2a}{x^2-a^2}$ 로 정의할 때, $f(1)+f(2)+f(3)$의 값을 구하시오. (단, $a \ne 0$)