라이트쎈 공통수학 09단원 유리식과 유리함수 (핵심 공식+꿀팁 총정리)
안녕하세요! 📚 라이트쎈 공통수학으로 열공하는 학생 여러분! 08단원 ‘함수’의 기본기를 마치고, 첫 번째 구체적인 함수인 **’09단원 유리식과 유리함수’**입니다.
이 단원은 ‘식을 계산’하는 ‘유리식’ 파트와 ‘그래프를 분석’하는 ‘유리함수’ 파트로 나뉩니다. 특히 유리함수 그래프는 ‘점근선’만 제대로 이해하면 절반은 끝난 것입니다!
라이트쎈 B단계에 자주 나오는 ‘부분분수 분해’ 계산과 ‘유리함수 역함수’ 꿀팁까지 모두 정리해 드립니다.
1. 유리식 계산 (★부분분수 분해★)
유리식은 ‘분수식’의 계산입니다. 덧셈/뺄셈은 ‘통분’, 곱셈/나눗셈은 ‘약분’이 기본이지만, 라이트쎈에서 가장 중요하게 다루는 계산 스킬은 ‘부분분수 분해’입니다.
부분분수 분해 공식 (B-A Formula)
분모가 곱으로, 분자가 상수로 되어 있고, 여러 개를 더해야 할 때 100% 사용됩니다.
✅ **예시:** $\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{(x+2)-x} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} – \frac{1}{x+2} \right)$
2. 유리함수 그래프 (★단원 핵심: 점근선★)
유리함수의 생명은 **’점근선(Asymptote)’**입니다. 그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 선이죠.
2-1. 기본형 $y = \frac{k}{x}$
가장 기본이 되는 원점 대칭의 쌍곡선입니다.
- 점근선: $x=0$ (y축), $y=0$ (x축)
- $k > 0$ : 1, 3 사분면에 그래프가 그려짐
- $k 2, 4 사분면에 그래프가 그려짐
2-2. 표준형 $y = \frac{k}{x-p} + q$ (★필수 암기★)
기본형 $y=\frac{k}{x}$를 $x$축으로 $p$만큼, $y$축으로 $q$만큼 평행이동한 형태입니다. **이 형태로 바꿔야 모든 정보가 보입니다!**
✅ **정의역:** $\{ x \mid x \neq p \text{인 모든 실수} \}$
✅ **치역:** $\{ y \mid y \neq q \text{인 모든 실수} \}$
✅ **대칭성:**
- 점 $(p, q)$에 대해 점대칭
- 점 $(p, q)$를 지나고 기울기가 $\pm 1$인 두 직선에 대해 선대칭
$y-q = 1(x-p)$, $y-q = -1(x-p)$
3. 일반형 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ (★킬러 유형★)
라이트쎈 문제의 90%는 이 형태로 나옵니다. 우리는 이 식을 보자마자 **’표준형’으로 바꾸는** 연습을 해야 합니다.
3-1. 표준형으로 바꾸는 법
간단합니다. 분자($ax+b$)를 분모($cx+d$)로 **’직접 나누기’**를 하면 됩니다.
예: $y = \frac{2x+1}{x-1}$
$\to y = \frac{2(x-1)+3}{x-1} = \frac{3}{x-1} + 2$
(점근선: $x=1, y=2$, $k=3$)
3-2. 유리함수의 역함수 (★1초컷 꿀팁★)
08단원에서 배운 역함수( $y=x$ 대칭)입니다. 유리함수의 역함수는 다행히도 공식이 있습니다.
✅ 공식 (일반형 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$의 역함수):** $$ y^{-1} = \frac{dx-b}{-cx+a} $$
(꿀팁: $a$와 $d$는 자리를 바꾸고, $b$와 $c$는 부호만 바꾼다!)
🌟 여러분과의 약속: 지속적인 업데이트! 🌟
이 포스팅은 여러분의 **라이트쎈 공통수학** 학습을 끝까지 돕기 위해 아래 자료들을 **지속적으로 업데이트할 것을 약속드립니다.**
- [유형별 풀이 동영상] 라이트쎈 B/C단계 ‘유리함수 그래프와 직선의 위치 관계’ 킬러 문항 풀이 (업데이트 예정)
- [심화 개념] ‘부분분수 분해’ 심화 문제 및 ‘번분수’ 계산 꿀팁 (지속 추가)
- [오답노트 가이드] 유리함수 + 산술·기하 평균 연계 문제 풀이 전략 (업데이트 예정)
이 페이지를 [즐겨찾기] 해두시고, 공통수학 1등급을 위한 모든 꿀팁을 놓치지 마세요!
유리함수는 ‘점근선’과 ‘대칭성’이 전부입니다. 라이트쎈 공통수학의 모든 유리함수 문제를 ‘표준형’으로 바꿔 ‘점근선’부터 그리는 연습을 해보세요! 🔥
