라이트쎈 공통수학 08단원 함수 (핵심 꿀팁, 합성함수, 역함수)
안녕하세요! 📚 라이트쎈 공통수학으로 열공하는 학생 여러분! ‘집합과 명제’ 대단원(05~07단원)이 끝나고, 드디어 수학의 ‘꽃’이자 ‘심장’이라 불리는 **’08단원 함수’**입니다.
이 단원은 앞으로 배울 유리함수, 무리함수는 물론, 고2 때 배울 지수, 로그, 삼각함수까지 **모든 수학의 기본**이 됩니다. 특히 라이트쎈의 킬러 문제들은 ‘합성함수’와 ‘역함수’에서 쏟아집니다.
오늘 ‘함수’의 기본부터 ‘합성함수’, ‘역함수’까지 완벽하게 정리해 드립니다!
1. 함수의 기본 (일대일 대응, 항등/상수함수)
‘함수’란 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소가 **오직 하나씩** 대응하는 관계입니다. (X의 원소가 2명에게 화살표를 주거나, 안 주면 안 됨!)
여러 가지 함수 (★개념 필수★)
- 일대일 함수: $x_1 \neq x_2$ 이면 $f(x_1) \neq f(x_2)$ (서로 다른 놈을 찍는다. Y가 남아도 됨)
- 일대일 대응 (★역함수 조건★):
- 일대일 함수이다. (서로 다른 놈 찍기)
- 공역 = 치역 (Y가 남으면 안 됨!)
- 항등함수: $f(x) = x$ (자신이 자신에게 대응. (예: $y=x$))
- 상수함수: $f(x) = c$ (모든 X가 Y의 한 놈에게 ‘몰빵’)
2. 합성함수 (Composite Function: $g \circ f$) (★킬러 유형 1★)
‘함수 속의 함수’입니다. $f$를 타고 나온 결과를 다시 $g$에 넣는 것입니다. 라이트쎈 B, C단계의 단골손님입니다.
2-1. 정의와 성질
✅ **핵심 성질:**
- 교환법칙 성립 X (★중요★): $g \circ f \neq f \circ g$ (순서 바꾸면 큰일 남!)
- 결합법칙 성립 O: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ (순서만 안 바꾸면 괄호는 OK)
라이트쎈에서 $g(f(x))$ 꼴의 최대/최소를 묻는다면? ‘치환’이 핵심입니다.
- 안에 있는 $f(x) = t$로 치환합니다.
- $g(t)$의 최대/최소를 구합니다.
- [가장 중요!] $t$의 범위($f(x)$의 치역)를 반드시 새로 구해야 합니다. $x$의 범위가 아닌 $t$의 범위에서 $g(t)$를 풀어야 정답입니다!
3. 역함수 (Inverse Function: $f^{-1}$) (★킬러 유형 2★)
‘거꾸로 가는 함수’입니다. $Y$에서 $X$로 가는 대응이며, 라이트쎈에서 ‘합성함수’와 엮여 최고난도 문제를 만듭니다.
3-1. 존재 조건 (★필수 암기★)
(Y에서 X로 갈 때도 ‘함수’ 조건을 만족해야 하므로, Y가 남거나 Y가 두 곳으로 쏘면 안 되기 때문)
3-2. 역함수의 핵심 성질 (이것 모르면 B단계 못 푼다!)
(역함수를 직접 구하기 힘들 때, 이 성질로 함숫값을 99% 풉니다.)
✅ **원래 함수와 역함수의 관계:**
- $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ (항등함수)
- $(f \circ f^{-1})(x) = x$ (항등함수)
✅ **합성함수의 역함수 (★순서 반대★):** $$ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} $$ (양말을 신고 구두를 신었다면, 벗을 땐 구두부터 벗고 양말을 벗는다!)
3-3. 역함수와 그래프
원래 함수 $y=f(x)$와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프는 **직선 $y=x$에 대하여 대칭**입니다.
따라서 라이트쎈에서 두 그래프의 ‘교점’을 구하라고 하면, $f(x) = f^{-1}(x)$로 풀지 말고 (복잡함),
$f(x) = x$ 또는 $f^{-1}(x) = x$
(즉, 원래 함수와 $y=x$의 교점)을 구하는 것이 100배 빠릅니다! (단, $f(x)$가 증가함수일 때)
🌟 여러분과의 약속: 지속적인 업데이트! 🌟
이 포스팅은 여러분의 **라이트쎈 공통수학** 학습을 끝까지 돕기 위해 아래 자료들을 **지속적으로 업데이트할 것을 약속드립니다.**
- [유형별 풀이 동영상] 라이트쎈 B/C단계 ‘합성함수 그래프 그리기’, ‘역함수 교점’ 킬러 문항 풀이 (업데이트 예정)
- [심화 개념] $f(x)$가 증가함수가 아닐 때의 역함수 교점 (심화 꿀팁) (지속 추가)
- [오답노트 가이드] ‘역함수 존재 조건(일대일 대응)’ 서술형 문제 대비 (업데이트 예정)
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함수는 ‘대응 관계’를 이해하는 것이 전부입니다. 라이트쎈 공통수학의 모든 문제를 그림(화살표)으로 그려보며 ‘정의’에 충실하게 푸는 연습을 해보세요! 🔥
