라쎈공수2 03원의방정식

admin

3일 ago

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라이트쎈 공통수학2 03단원 원의 방정식 (핵심 공식+꿀팁 총정리)

안녕하세요! 📚 라이트쎈 공통수학2로 열공하는 학생 여러분! ‘직선의 방정식’에 이어 ‘도형의 방정식’ 파트의 최종 보스, **’03단원 원의 방정식’**입니다.

이 단원은 공식도 많고, 01단원(평면좌표)의 ‘두 점 사이의 거리’와 02단원(직선의 방정식)의 ‘점과 직선 사이의 거리’ 개념이 모두 사용되는 **’종합선물세트’** 같은 단원입니다. 라이트쎈 공통수학2의 수많은 B, C단계 문제들이 바로 이 단원에서 나옵니다.

오늘 포스팅 하나로 ‘원의 방정식’의 모든 핵심 공식을 완벽하게 정리해 드립니다!

1. 원의 방정식 (표준형 vs 일반형)

원의 방정식은 ‘표준형’과 ‘일반형’ 두 가지 형태가 있습니다.

1-1. 표준형 (Standard Form): (★핵심★)

원의 ‘중심’과 ‘반지름’을 한눈에 알 수 있는 가장 중요한 형태입니다.

✅ 중심이 $(a, b)$이고 반지름이 $r$인 원: $$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $$ ✅ 중심이 원점 $(0, 0)$이고 반지름이 $r$인 원: $$ x^2 + y^2 = r^2 $$

1-2. 일반형 (General Form)

표준형을 모두 전개하여 $…=0$ 꼴로 정리한 형태입니다.

$$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $$

🍯 꿀팁: 일반형을 받으면, ‘완전제곱식’으로 묶어서 ‘표준형’으로 바꾸는 것이 문제 풀이의 1순위입니다. 이 과정을 통해 원의 중심과 반지름을 찾아내야 합니다. ($r^2$이 되는 부분이 0보다 커야 원이 됩니다!)

1-3. (응용) 좌표축에 접하는 원의 방정식

라이트쎈 공통수학2에서 자주 출제되는 응용 유형입니다. ‘접한다’는 것은 (중심)에서 (축)까지의 거리가 ‘반지름’과 같다는 뜻입니다.

x축에 접하는 원 (중심 $a, b$): $(x-a)^2 + (y-b)^2 = \mathbf{b^2}$ (반지름 $r = |b|$)
y축에 접하는 원 (중심 $a, b$): $(x-a)^2 + (y-b)^2 = \mathbf{a^2}$ (반지름 $r = |a|$)
x, y축에 동시에 접하는 원: (반지름 $r = |a| = |b|$)

2. 원과 직선의 위치 관계 (★시험 1순위★)

03단원에서 가장 중요한 개념입니다. 원과 직선이 만나는지, 접하는지, 안 만나는지 판단하는 방법입니다.

[방법 1] 판별식 $D$ (비추천): $y=mx+n$을 원의 방정식에 대입한 2차 방정식의 판별식 $D$를 사용… (복잡해서 잘 쓰지 않습니다.)

[방법 2] $d$와 $r$의 비교 (★강력 추천★): 원의 중심 $(a, b)$에서 직선까지의 거리 $d$와 반지름 $r$을 비교하는 것이 100배 더 중요하고 빠릅니다!

✅ 원의 중심과 직선 사이의 거리를 $d$, 반지름을 $r$이라 할 때

$d > r$ ⇔ 만나지 않는다. (교점 0개)
$d = r$ ⇔ 접한다. (한 점에서 만난다.) (교점 1개)
$d 서로 다른 두 점에서 만난다. (교점 2개)

🍯 꿀팁: ‘현의 길이’를 구하는 문제도 $d

3. 원의 접선의 방정식 (★필수 암기★)

조건에 따라 접선의 방정식을 구하는 3가지 유형입니다. 라이트쎈 B, C단계의 단골손님입니다.

3-1. (유형 1) 원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선

가장 쉬운 공식입니다.

✅ 원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선: $$ x_1x + y_1y = r^2 $$ ✅ 원 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선: $$ (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 $$

3-2. (유형 2) 기울기 $m$이 주어진 접선

중심이 원점일 때 공식은 유용하지만, 아닐 때는 $d=r$을 쓰는 게 낫습니다.

✅ 원 $x^2 + y^2 = r^2$에 접하고 기울기가 $m$인 접선: $$ y = mx \pm r\sqrt{m^2+1} $$

🍯 꿀팁: 이 공식은 중심이 (0, 0)일 때만 사용 가능합니다! 중심이 $(a, b)$라면, 이 공식을 평행이동 시키거나 ($y-b = m(x-a) \pm …$) 그냥 $d=r$을 쓰세요! (직선 $y=mx+n$을 $mx-y+n=0$으로 바꾸고, 중심 $(a, b)$까지의 거리가 $r$과 같다고 식을 세우면 $n$을 구할 수 있습니다.)

3-3. (유형 3) 원 밖의 한 점 $(x_1, y_1)$에서 그은 접선

이것은 공식이 없습니다. ‘풀이 방법’을 외워야 합니다.

🍯 꿀팁 (풀이 3가지): 라이트쎈에서는 3가지 방법 모두 중요합니다.

[가장 추천] $d=r$ 이용: 기울기를 $m$이라 두고, 원 밖의 점 $(x_1, y_1)$을 지나는 직선 $y-y_1 = m(x-x_1)$을 세웁니다. 이 직선과 원의 중심까지의 거리가 $d=r$임을 이용하여 $m$ 값을 구합니다. (가장 강력한 풀이)
(유형 1) 이용: 원 위의 접점을 $(x_2, y_2)$로 놓고, 접선 $x_2x + y_2y = r^2$을 세웁니다. 이 접선이 원 밖의 점 $(x_1, y_1)$을 지나므로 대입합니다.
(유형 2) 이용: 기울기 $m$ 공식을 쓰고, 그 직선이 원 밖의 점 $(x_1, y_1)$을 지난다고 대입합니다. (중심이 원점일 때만 유용)