⭐ 핵심만정리

삼각함수에 절댓값 기호가 붙으면 그래프 모양이 어떻게 변할까요? 네 가지 유형별 변신 마법을 알아봅시다! 🪄 (기본 함수를 y=f(x)라고 할게요!)

• y = |f(x)| 형태: y=f(x) 그래프에서 x축 아랫부분을 x축에 대해 위로 접어 올리기!
  • 예) y = |sin x|: 사인 그래프의 음수 부분이 양수로 바뀌어 물결이 모두 위로 올라와요! 최솟값은 0, 주기는 π로 줄어들어요.
• y = f(|x|) 형태: y=f(x) 그래프에서 y축 오른쪽 부분(x≥0)만 남기고, 이 부분을 y축에 대해 대칭 복사!
  • 예) y = sin|x|: x≥0 부분은 원래 사인 그래프와 같고, x<0 부분은 이 모양을 y축 대칭한 모양이 돼요. (y축 대칭 그래프가 아님에 주의!)
• |y| = f(x) 형태: y=f(x) 그래프에서 x축 윗부분(f(x)≥0)만 남기고, 이 부분을 x축에 대해 대칭 복사!
  • 예) |y| = sin x: 사인 그래프의 y값이 양수인 부분만 그리고, 그 부분을 x축 대칭해서 아래쪽에도 그려요.
• |y| = f(|x|) 형태: y=f(x) 그래프에서 제1사분면과 x축 양의 부분(x≥0, f(x)≥0)만 남기고, 이 부분을 x축, y축, 원점에 대해 모두 대칭 복사!

각 유형별 그래프 그리는 규칙을 잘 기억하면 어떤 절댓값 삼각함수도 문제없어요! 😉

📚 개념정리

안녕, 그래프 변신술사 친구들! ✨ 오늘은 삼각함수에 절댓값 기호가 붙었을 때 그래프가 어떻게 변하는지, 그 네 가지 유형을 함께 살펴볼 거예요. 절댓값은 항상 0 또는 양수가 되는 성질이 있어서, 그래프 모양에 재미있는 변화를 준답니다! 😊

삼각함수를 f(x)라고 할 때 (예: f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x), 절댓값 기호의 위치에 따라 그래프 그리는 방법이 달라져요.

1. y = |f(x)| 그래프: x축 아래는 용납 못 해! 🚧

함수 전체에 절댓값이 씌워진 경우예요. |f(x)| 값은 항상 0 이상이어야 하므로, y=f(x) 그래프에서 y값이 음수인 부분을 x축을 기준으로 위로 접어 올린 모양이 된답니다.

• 그리는 순서:
  1. y=f(x)의 그래프를 그려요.
  2. 그래프 중 y < 0인 부분 (x축 아랫부분)을 x축에 대하여 대칭이동 시켜요 (접어 올려요!).
  3. 그래프 중 y ≥ 0인 부분 (x축 윗부분 또는 x축에 닿는 부분)은 그대로 둬요.
• 예시: y = |sin x|
  • y = sin x 그래프의 x축 아랫부분이 위로 접혀 올라가서 모든 함숫값이 0 이상이 돼요.
  • 최댓값: 1, 최솟값: 0
  • 주기: 원래 sin x의 주기는 2π였지만, x축 아랫부분이 접혀 올라오면서 주기가 π로 짧아져요!
  y = |sin x| 그래프
  (sin x의 음수 부분이 위로 접힌 모양, 주기 π)

2. y = f(|x|) 그래프: y축 오른쪽만 인정! ➡️👯‍♀️

x에만 절댓값이 있는 경우예요. f(|x|)는 x가 양수일 때나 음수일 때나 |x|는 항상 양수이므로, f(양수값)으로 계산돼요. (예: f(|-2|) = f(2))

• 그리는 순서:
  1. y=f(x)의 그래프 중에서 x ≥ 0인 부분 (y축 오른쪽과 y축 포함)만 남기고 x < 0인 부분(y축 왼쪽)은 지워요.
  2. 남겨둔 오른쪽 그래프를 y축에 대하여 대칭 복사해서 왼쪽에 그려요.
• 예시: y = cos|x|
  • y = cos x 그래프는 원래 y축 대칭(우함수)이었죠? 그래서 cos|x| = cos x가 되어 그래프 모양이 변하지 않아요!
  y = cos|x| 그래프
  (원래 cos x 그래프와 동일)
• 예시: y = sin|x|
  • y = sin x 그래프의 x ≥ 0 부분만 남기고, 이 부분을 y축 대칭시켜요. 원래 사인 그래프는 원점 대칭이었지만, y = sin|x|는 y축 대칭인 함수가 된답니다.
  y = sin|x| 그래프
  (sin x의 x≥0 부분을 y축 대칭)

3. |y| = f(x) 그래프: x축 윗부분만 인정하고 위아래 대칭! 上下👯

y에만 절댓값이 있는 경우예요. |y|는 항상 0 이상이어야 하므로, f(x)도 0 이상인 부분만 의미가 있어요.

• 그리는 순서:
  1. y=f(x)의 그래프 중에서 f(x) ≥ 0인 부분 (x축 윗부분과 x축 포함)만 남기고 f(x) < 0인 부분(x축 아랫부분)은 지워요.
  2. 남겨둔 위쪽 그래프를 x축에 대하여 대칭 복사해서 아래쪽에도 그려요.
• 예시: |y| = cos x
  • y = cos x 그래프에서 y≥0인 부분만 남기고 (즉, 코사인 값이 양수인 봉우리 부분들), 이 부분을 x축 대칭시켜서 아래쪽에도 똑같이 그려요. 마치 물고기 뼈 모양처럼 생길 수 있어요!
  |y| = cos x 그래프
  (cos x의 y≥0 부분을 x축 대칭)

4. |y| = f(|x|) 그래프: 제1사분면의 운명! ✨

x와 y 모두에 절댓값이 있는 경우예요. 이건 제1사분면의 모양이 모든 것을 결정한답니다!

• 그리는 순서:
  1. y=f(x)의 그래프 중에서 x ≥ 0이고 y ≥ 0인 부분 (즉, 제1사분면과 축에 닿는 부분)만 남겨요.
  2. 남겨둔 그래프를 x축에 대하여 대칭이동, y축에 대하여 대칭이동, 그리고 원점에 대하여 대칭이동 시켜서 나머지 사분면에도 그려 넣어요.
• 예시: |y| = tan|x|
  • y = tan x 그래프의 제1사분면 부분(0 ≤ x < π/2)을 먼저 그려요.
  • 이것을 x축, y축, 원점에 대해 각각 대칭시켜 그리면, 점근선을 기준으로 반복되는 나비넥타이 같은 모양들이 나타날 수 있어요.
  |y| = tan|x| 그래프
  (tan x의 제1사분면 부분을
  x축, y축, 원점 대칭)

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✅ 개념확인

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💡 참고