“
원과 직선이 한 점에서 만날(접할) 때의 상황을 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선 AB가 점 P에서만 만나므로, 직선 AB는 원의 접선이고 P는 접점입니다.
2. (점 P 찾기) 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하는 점이므로, 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
3. (직선 AB 찾기) 두 점 A, B의 좌표를 이용해 직선 AB의 방정식을 구합니다.
4. (접선 조건 이용) 원의 중심 (a,b)와 접선 AB 사이의 거리는 반지름과 같습니다. 또한 중심 (a,b)에서 접점 P까지의 거리도 반지름입니다. 이 두 조건을 연립하여 a, b를 구합니다.
주의할 점:
‘한 점에서만 만난다’는 표현을 ‘접한다’로 해석하는 것이 중요합니다. 접선의 문제는 항상 중심, 접점, 반지름 사이의 기하학적 관계를 이용합니다.
”
교점과 수직, 삼각형 넓이 증명
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내분점과 중점의 자취가 그리는 도형의 길이를 구하는 문제입니다. 351번과 유사합니다.
접근법:
1. (1번 문제) 내분점 P를 (x,y), 원 위의 점 B를 (a,b)로 둡니다. 내분점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 P의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
2. (2번 문제) 중점 M을 (x,y), 원 위의 점 P를 (a,b)로 둡니다. 중점 공식을 이용해 a,b를 x,y로 표현한 뒤, 원의 방정식에 대입하여 M의 자취(새로운 원)를 구합니다. 도형의 길이는 이 원의 둘레입니다.
주의할 점:
내분점의 자취는 원래 원을 (n/(m+n)) 비율로 축소한 원이 되고, 중점의 자취는 반지름이 절반인 원이 됩니다. 이 성질을 이용하면 자취의 반지름을 빠르게 구할 수 있습니다.
”
내분점과 교점, 넓이의 증명
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움직이는 점 A에 의해 결정되는 삼각형의 무게중심이 그리는 자취와, 그 자취(원) 위의 점과 직선 사이의 거리의 최대/최소를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 무게중심 G의 자취의 방정식을 구합니다. (352번 문제 참고) 이 자취는 반지름이 원래 원의 1/3로 축소되고 중심이 이동한 새로운 원이 됩니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 원 위의 점 P’와 ‘직선 x+y-2=0’ 사이의 거리의 최대/최소 문제로 바뀝니다.
3. 최댓값 M = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) + (새로운 원의 반지름)
4. 최솟값 m = (새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리) – (새로운 원의 반지름)
5. M과 m을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
자취의 방정식이 원이 된다는 점, 그리고 원과 직선 사이의 거리 최대/최소 공식을 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 종합 문제입니다.
”
이차함수와 정사각형 조건
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접선과 수선(법선), 그리고 이등변삼각형의 조건이 결합된 고난도 기하 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 지나고 접선 l에 수직인 직선은 원의 중심을 지납니다. 따라서 선분 PQ는 원의 지름이 됩니다.
2. 삼각형 APQ에서 각 APQ는 90도입니다. (접선과 반지름은 수직)
3. 이 직각삼각형이 이등변삼각형이 되려면, **AP = PQ** 여야 합니다.
4. AP는 접선의 길이, PQ는 지름(2r)입니다. 접선의 길이는 피타고라스 정리(AP² = OA² – r²)로 구할 수 있습니다.
5. AP² = PQ² 라는 등식, 즉 OA² – r² = (2r)² 을 풀어 원의 반지름 r을 찾고, 이를 이용해 점 P의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
여러 기하학적 성질(접선, 수선, 직각삼각형, 이등변삼각형)을 순서대로 적용하여 문제의 조건을 식으로 변환하는 능력이 필요합니다.
”
이등변삼각형과 무게중심 복합 문제
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원 밖의 한 점에서 그은 접선의 길이가 같다는 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P를 x축 위의 점 (a,0)으로 설정합니다.
2. **(접선 PQ 길이)** 직각삼각형을 이용합니다. PQ² = (P와 C₁중심간 거리)² – (C₁반지름)² 입니다.
3. **(접선 PR 길이)** 마찬가지로 PR² = (P와 C₂중심간 거리)² – (C₂반지름)² 입니다.
4. 주어진 조건 PQ=PR, 즉 PQ²=PR² 이라는 등식을 세웁니다.
5. 이 등식은 a에 대한 간단한 일차방정식이 되며, 이를 풀어 점 P의 x좌표를 구합니다.
주의할 점:
원 밖의 점에서 접점까지의 길이를 구할 때, 항상 원의 중심을 연결하여 피타고라스 정리를 사용하는 것을 기억해야 합니다.
”
곡선 밖 두 접선이 수직일 조건
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한 원의 넓이를 이등분하는 두 직선이 다른 원에 접할 때의 상황을 해석하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 첫 번째 원의 넓이를 이등분하므로, 두 직선은 모두 첫 번째 원의 중심 (6,0)을 지납니다.
2. 이제 문제는 ‘점 (6,0)에서 두 번째 원(x²+y²=9)에 그은 두 접선’을 찾는 문제로 바뀝니다.
3. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 방정식을 구합니다.
4. 이 두 접선과 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구합니다. 두 접선은 x축에 대해 대칭이므로, y절편은 부호만 다릅니다. 이를 이용해 밑변과 높이를 쉽게 구할 수 있습니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하여, 문제를 ‘원 밖의 한 점에서 그은 접선’ 문제로 변환하는 것이 핵심입니다.
”
선대칭을 이용한 최단 거리
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x축에 접하는 원의 중심이 이차함수 위에 있고, 또 다른 직선에도 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a, b)라 하면, 중심이 이차함수 위에 있으므로 b=a²+1 입니다.
2. 원이 x축에 접하므로 반지름 r = |중심의 y좌표| = |a²+1| 입니다. a²+1은 항상 양수이므로 r=a²+1 입니다.
3. 이 원이 직선 4x-3y-3=0 과도 접하므로, 원의 중심 (a, a²+1)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 a²+1과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a에 대한 이차방정식이 나오며, 두 근이 두 원의 중심 x좌표가 됩니다.
5. 두 원의 반지름은 각각의 a값에 대해 계산되므로, 두 반지름의 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 개의 조건을 종합하여 하나의 미지수(a)에 대한 방정식으로 귀결시키는 과정이 핵심입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식에서 절댓값을 푸는 과정에 유의해야 합니다.
”
세 직선 교점으로 내심 구하기
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아폴로니우스의 원 두 개가 주어졌을 때, 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (원 O₁ 구하기) AP:BP = 3:2를 만족하는 점 P의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₁과 반지름 r₁을 찾습니다.
2. (원 O₂ 구하기) AQ:BQ = 2:3을 만족하는 점 Q의 자취(아폴로니우스의 원)의 방정식을 구하여 중심 O₂와 반지름 r₂를 찾습니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **(두 중심 사이의 거리) + (두 반지름의 합)** 입니다.
4. d = O₁O₂, M = d + r₁ + r₂ 를 계산합니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원을 두 번 구해야 하는 계산량이 많은 문제입니다. 내분점과 외분점을 지름의 양 끝으로 하여 원을 구하는 것이 더 빠를 수 있습니다.
”
두 직선에 접하는 원 넓이 이등분선
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직선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 내접원과 외접원의 중심을 각각 찾아 두 중심 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 x, y절편을 구해 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 찾습니다. 이 삼각형은 직각삼각형입니다.
2. (내심 C₁) 직각삼각형의 내접원의 반지름 r = (a+b-c)/2 공식을 이용하거나, 넓이 공식을 이용해 반지름을 구하고 중심 좌표(r,r)를 찾습니다.
3. (외심 C₂) 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점입니다. 중점 공식을 이용해 외심의 좌표를 구합니다.
4. 두 중심 C₁, C₂ 사이의 거리를 계산합니다.
주의할 점:
직각삼각형의 내심과 외심의 위치에 대한 성질을 알고 있으면 매우 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다.
”
x축과 직선에 동시 접촉하는 원
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원의 현의 수직이등분선의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원과 직선 y=x의 두 교점이 P, Q입니다.
2. 선분 PQ는 원의 현이므로, 현 PQ의 수직이등분선은 반드시 원의 중심 (2,1)을 지납니다.
3. 또한, 현 PQ를 포함하는 직선은 y=x이므로, 수직이등분선의 기울기는 -1입니다.
4. 이제 수직이등분선은 점 (2,1)을 지나고 기울기가 -1인 직선임을 알 수 있습니다. 이 직선의 방정식을 구합니다.
5. 구한 직선의 x절편(A)과 y절편(B)을 찾아 삼각형 OAB의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
현의 수직이등분선은 항상 원의 중심을 지난다는 핵심적인 기하학적 성질을 알고 있으면, 교점을 직접 구하지 않고도 문제를 해결할 수 있습니다.
”
두 아폴로니우스의 원 사이 거리 최댓값
