155 여러 가지 집합의 표현 특강: 같은 의미, 다른 표현! 🎭
안녕하세요, 집합 언어의 마법사 친구들! 👋 우리가 집합의 연산(합집합, 교집합, 여집합, 차집합 등)을 배우다 보면, 어떤 특정한 집합 관계나 연산 결과를 다양한 방법으로 표현할 수 있다는 것을 알게 돼요. 마치 같은 뜻을 가진 여러 단어나 문장이 있는 것처럼 말이죠! 오늘은 이처럼 같은 의미를 가지는 여러 가지 집합의 표현들에 대해 알아보는 특강 시간이에요. 이 다양한 표현들을 잘 익혀두면 복잡한 집합 문제를 풀거나 증명할 때 매우 유용하게 활용할 수 있답니다! 벤다이어그램을 친구 삼아 함께 살펴볼까요? 🎨
📝 핵심만정리: 같은 의미, 다른 표현들!
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 다음과 같은 표현들은 서로 같은 의미를 가져요.
- A – B와 같은 표현들:
- A ∩ Bc (A이면서 B가 아닌 것)
- A – (A ∩ B) (A에서 A와 B의 공통부분을 제외)
- (A ∪ B) – B (A와 B를 합친 것에서 B를 제외)
- A ⊂ B (A가 B의 부분집합)와 같은 표현들:
- A ∩ B = A (A와 B의 공통부분은 A 자신)
- A ∪ B = B (A와 B를 합치면 B가 됨)
- A – B = ∅ (A에서 B를 빼면 남는 게 없음)
- A ∩ Bc = ∅ (A이면서 B가 아닌 것은 없음)
- Ac ∪ B = U (A가 아니거나 또는 B인 것은 전체집합)
- Bc ⊂ Ac (B가 아닌 것은 A가 아닌 것에 포함됨)
- Bc – Ac = ∅
- A ∩ B = ∅ (A와 B가 서로소)와 같은 표현들:
- A – B = A (A에서 B를 빼도 A 그대로)
- B – A = B (B에서 A를 빼도 B 그대로)
- A ⊂ Bc (A는 B가 아닌 것에 포함됨)
- B ⊂ Ac (B는 A가 아닌 것에 포함됨)
이런 다양한 표현들을 벤다이어그램으로 그려서 이해하면 훨씬 쉽게 기억할 수 있어요!
➖ A – B와 같은 표현들: 순수 A의 다양한 모습!
개념정리 155-1: B를 제외한 A의 부분
차집합 A-B는 집합 A의 원소 중에서 집합 B에 속하는 원소를 제외한 나머지 부분, 즉 A에만 속하는 원소들의 집합을 의미하죠. 이 A-B와 똑같은 의미를 가지는 다른 표현들을 알아봅시다.
- A ∩ Bc
→ “A의 원소이면서(∩) B의 원소가 아닌(Bc) 것들의 모임”이라는 뜻이므로 A-B와 같아요. 이 변환은 매우 중요하게 사용됩니다! - A – (A ∩ B)
→ 집합 A에서 A와 B의 공통부분(A ∩ B)을 제외하면, 정확히 A에만 속하는 부분만 남겠죠? - (A ∪ B) – B
→ 집합 A와 B를 모두 합친(A ∪ B) 상태에서 집합 B 전체를 들어내면, 역시 A에만 속했던 부분만 남게 됩니다.
⊂ A ⊂ B와 같은 표현들: A가 B에 쏙!
개념정리 155-2: 포함 관계의 다양한 증거들
집합 A가 집합 B의 부분집합이라는 것(A ⊂ B)은 A의 모든 원소가 B에 포함된다는 뜻이에요. 이 관계는 다음과 같은 다양한 표현들과 같은 의미를 가집니다.
- A ∩ B = A: A와 B의 공통부분을 찾았더니 A 자신이 나왔다는 것은, A 전체가 B 안에 있었다는 뜻이죠! (교집합해서 나온 놈은 작은 놈! )
- A ∪ B = B: A와 B를 합쳤더니 B 자신이 나왔다는 것은, A가 이미 B 안에 포함되어 있었다는 뜻입니다! (합집합해서 나온 놈은 큰 놈! )
- A – B = ∅: A에서 B에 속하는 부분을 뺐더니 아무것도 남지 않았다는 것은, A의 모든 원소가 B에 속했다는 의미입니다.
- A ∩ Bc = ∅: A-B = A ∩ Bc이므로 위와 같은 의미입니다. (A이면서 B가 아닌 것은 없다!)
- Bc ⊂ Ac: A가 B에 포함되면, B의 바깥 부분(여집합)은 A의 바깥 부분(여집합)에 포함됩니다. (마치 대우 명제처럼 생각할 수 있어요!)
- Ac ∪ B = U: (A가 아니거나 B인 부분은 전체이다.)
- Bc – Ac = ∅: Bc ∩ (Ac)c = Bc ∩ A = A – B = ∅ 와 같은 의미입니다.
🚫 A ∩ B = ∅ (서로소)와 같은 표현들: 공통점이 없어!
개념정리 155-3: 겹치는 부분이 없을 때!
두 집합 A와 B가 서로소라는 것은 두 집합의 교집합이 공집합(A ∩ B = ∅)이라는 뜻이죠. 이 관계 또한 다음과 같은 다양한 표현들과 같은 의미를 가집니다.
- A – B = A: A에서 B를 빼도 A가 그대로 남는다는 것은, A와 B에 공통된 부분이 없었다는 뜻입니다.
- B – A = B: B에서 A를 빼도 B가 그대로 남는다는 것도 마찬가지 의미입니다.
- A ⊂ Bc: A의 모든 원소가 B가 아닌 것들(Bc)에 포함된다는 것은, A와 B에는 공통 원소가 없다는 뜻입니다.
- B ⊂ Ac: B의 모든 원소가 A가 아닌 것들(Ac)에 포함된다는 것도 같은 의미입니다.
🧐 개념확인 문제: 같은 의미 찾아내기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 집합 관계와 같은 의미를 갖는 표현을 골라봅시다!
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 B ⊂ A일 때, 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은? (PDF Check 문제)
① A ∪ B = A ② A ∩ B = B ③ A ∪ Bc = U
④ A – B = ∅ ⑤ B ∩ Ac = ∅
정답 및 해설:
조건은 B ⊂ A (B가 A의 부분집합) 입니다.
이것은 A가 B를 포함한다는 의미입니다.
- ① A ∪ B = A: A와 (A에 포함되는) B를 합치면 더 큰 집합인 A가 됩니다. (옳음)
- ② A ∩ B = B: A와 (A에 포함되는) B의 공통부분은 더 작은 집합인 B가 됩니다. (옳음)
- ③ A ∪ Bc = U: B가 A에 포함될 때, (A 또는 B가 아닌 것)이 항상 전체집합이 되는지는 벤다이어그램으로 확인해봅시다. A가 U 전체가 아니고 B가 공집합이 아니라면, A 바깥이면서 B인 부분이 있을 수 있고, 이 부분은 A ∪ Bc에 포함되지 않을 수 있습니다. (예: U={1,2,3,4}, A={1,2,3}, B={1,2} 이면 Bᶜ={3,4}이고 A∪Bᶜ={1,2,3,4}=U. 이 경우는 성립. / 예: U={1,2,3,4}, A={1,2}, B={1} 이면 Bᶜ={2,3,4}이고 A∪Bᶜ={1,2,3,4}=U. 성립)
B \subset A \iff A^c \subset B^c. 이 조건으로부터 A \cup B^c가 항상 U가 되는지 봅시다. 벤다이어그램을 그려보면, U에서 (A \cup B^c)^c = A^c \cap (B^c)^c = A^c \cap B 입니다. B \subset A이므로 A^c \cap B는 B 중에서 A에 속하지 않는 부분인데, B는 A에 속하므로 A^c \cap B = \emptyset이 됩니다. 따라서 (A \cup B^c)^c = \emptyset 이므로 A \cup B^c = U가 맞습니다. (옳음) - ④ A – B = ∅: A에서 B를 뺀 것이 공집합이라는 것은 A가 B의 부분집합(A ⊂ B)이라는 뜻입니다. 문제 조건은 B ⊂ A이므로, 이 보기는 일반적으로 옳지 않습니다. 예를 들어 A={1,2}, B={1}이면 A-B={2} \ne \emptyset 입니다. (따라서 옳지 않음)
- ⑤ B ∩ Ac = ∅: 이것은 B – A = ∅와 같은 뜻입니다. B에서 A를 뺀 것이 공집합이라는 것은 B가 A의 부분집합(B ⊂ A)이라는 뜻이므로, 문제 조건과 일치합니다. (옳음)
따라서 항상 성립한다고 할 수 없는 것은 ④번 입니다.
집합의 포함 관계나 연산 결과를 다양한 방식으로 표현할 수 있다는 것을 알면, 문제에서 주어진 조건을 더 유연하게 해석하고 활용할 수 있어요! 🤓
오늘은 차집합, 부분집합 관계, 그리고 서로소 관계를 나타내는 여러 가지 동치 표현들에 대해 배웠습니다. 특히 A-B = A \cap Bc와 같이 한 가지 표현을 다른 연산들을 이용한 표현으로 바꾸는 것은 문제 해결에 매우 중요한 기술이죠? 벤다이어그램을 그려가며 각 표현이 같은 의미를 갖는지 확인하는 연습을 하면 더 깊이 이해할 수 있을 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 집합의 연산 법칙 중 하나인 ‘드모르간의 법칙’에 대해 알아보겠습니다. 🦇