148 부분집합의 개수: 2의 거듭제곱으로 간단하게! 🔢
안녕하세요, 집합의 구성원을 세는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 한 집합이 다른 집합에 포함되는 관계인 ‘부분집합’과, 자기 자신을 제외한 ‘진부분집합’에 대해 배웠어요. 오늘은 어떤 유한집합이 주어졌을 때, 그 집합의 부분집합이 총 몇 개인지, 그리고 진부분집합은 총 몇 개인지 그 개수를 세는 아주 간단하고 강력한 공식에 대해 알아볼 거예요! 이 공식은 마치 마법처럼 2의 거듭제곱으로 나타난답니다! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? ✨
📝 핵심만정리: 부분집합 개수, 2n의 마법!
원소의 개수가 n개인 유한집합 A (즉, n(A)=n)에 대하여,
- 1. 집합 A의 부분집합의 개수: 2n 개
- 2. 집합 A의 진부분집합의 개수: 2n – 1 개 (부분집합 중에서 자기 자신 1개를 제외)
예를 들어, 원소가 3개인 집합의 부분집합은 23 = 8개이고, 진부분집합은 8-1=7개예요!
🤔 부분집합의 개수는 왜 2n개일까요? (포함 O/X)
개념정리 148-1: 각 원소의 두 가지 선택!
원소의 개수가 n개인 집합 A = {a1, a2, …, an}의 부분집합을 만든다고 생각해 봅시다.
부분집합을 만들 때, 집합 A의 각각의 원소에 대해서는 다음과 같은 두 가지 선택이 가능해요.
- 그 원소를 부분집합에 포함시킨다 (O).
- 그 원소를 부분집합에 포함시키지 않는다 (X).
예를 들어 집합 A = {a, b, c}의 부분집합을 만들 때,
- 원소 a에 대해: 포함하거나(O) 포함하지 않거나(X) – 2가지 경우
- 원소 b에 대해: 포함하거나(O) 포함하지 않거나(X) – 2가지 경우
- 원소 c에 대해: 포함하거나(O) 포함하지 않거나(X) – 2가지 경우
각 원소의 선택은 서로 독립적이므로, 모든 가능한 부분집합의 개수는 각 원소에 대한 경우의 수를 모두 곱한 것과 같아요 (곱의 법칙).
따라서 원소의 개수가 3개인 집합 A의 부분집합의 개수는 2 \times 2 \times 2 = 23 = 8개가 됩니다.
일반적으로, 원소의 개수가 n개인 집합의 부분집합의 개수는 \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n\text{번}} = 2n 개가 되는 것이랍니다!
공집합도 포함! ∅
모든 원소를 포함시키지 않는 경우(X, X, X, …)는 바로 공집합(∅)을 의미하고, 모든 원소를 포함시키는 경우(O, O, O, …)는 자기 자신(A)을 의미해요. 이 공식에는 이 두 가지 경우도 모두 포함되어 있답니다!
👑 진부분집합의 개수: 자기 자신만 쏙 빼기!
개념정리 148-2: 2n – 1 개
진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 나머지 부분집합들을 의미한다고 했죠?
따라서 원소의 개수가 n개인 집합 A의 진부분집합의 개수는, 전체 부분집합의 개수인 2n개에서 자기 자신 1개를 빼주면 됩니다.
진부분집합의 개수 = 2n – 1 개
🧐 개념확인 문제: 부분집합 개수 세어보기!
이제 배운 공식을 이용해서 주어진 집합의 부분집합과 진부분집합의 개수를 구해봅시다!
집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}에 대하여 다음을 구하시오. (PDF Check 문제)
- 집합 A의 부분집합의 개수
- 집합 A의 진부분집합의 개수
정답 및 해설:
먼저 집합 A의 원소의 개수를 파악합니다. 집합 A는 원소 1, 2, 3, 4, 5를 가지므로 원소의 개수는 n(A) = 5 입니다.
- 집합 A의 부분집합의 개수:
공식 2n에 n=5를 대입하면,
25 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 (개) - 집합 A의 진부분집합의 개수:
공식 2n – 1에 n=5를 대입하면,
25 – 1 = 32 – 1 = 31 (개)
원소의 개수만 알면 2의 거듭제곱으로 부분집합의 개수를 쉽게 구할 수 있죠? 😉
오늘은 유한집합의 원소의 개수가 n개일 때, 그 부분집합의 개수는 2n개이고, 진부분집합의 개수는 2n-1개라는 중요한 공식을 배웠습니다. 각 원소가 부분집합에 포함되거나 포함되지 않는 두 가지 경우를 생각하여 유도할 수 있었죠? 이 공식은 앞으로 집합 관련 문제에서 매우 유용하게 사용될 테니 꼭 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 특강에서는 특정 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합의 개수를 세는 방법에 대해 알아보겠습니다. 🔍