103 선분의 내분점과 외분점: 선분을 나누는 점들의 비밀! 📍
안녕하세요, 도형 위의 점들을 탐색하는 친구들! 👋 우리가 수직선이나 좌표평면 위에서 두 점을 잇는 ‘선분’을 생각할 때, 이 선분을 특정 비율로 나누는 점들이 있어요. 선분 안에서 나누는 점을 내분점, 선분의 바깥(연장선 위)에서 나누는 점을 외분점이라고 한답니다. 오늘은 이 내분점과 외분점이 정확히 무엇을 의미하는지, 그리고 그 위치는 어떻게 결정되는지 함께 알아볼 거예요. 이 개념들은 앞으로 배울 직선의 방정식, 원의 방정식 등 다양한 도형 문제를 해결하는 데 기본이 되니, 집중해서 따라와 주세요! 🎯
📝 핵심만정리: 내분점과 외분점, 이것만 기억하세요!
선분 AB를 m:n (m>0, n>0)으로 나누는 점은 다음과 같아요.
- 내분점 (P):
- 위치: 선분 AB 위에 있다.
- 조건: AP : PB = m : n을 만족한다.
- 특히, m=n=1 (즉, 1:1 내분)이면 점 P는 선분 AB의 중점이다.
- 외분점 (Q):
- 위치: 선분 AB의 연장선 위에 있다.
- 조건: AQ : QB = m : n을 만족한다. (단, m ≠ n이어야 한다. )
- 외분점의 위치는 m과 n의 대소 관계에 따라 달라진다:
- m > n 이면: 점 Q는 점 B의 방향으로 그은 선분 AB의 연장선 위에 있다. (A-B-Q 순서)
- m < n 이면: 점 Q는 점 A의 방향으로 그은 선분 AB의 연장선 위에 있다. (Q-A-B 순서)
🎯 내분과 내분점: 선분 안에서 나누기!
개념정리 103-1: 선분 위의 점 P
선분 AB가 주어졌을 때, 점 P가 선분 AB 위에 있으면서 (즉, 점 A와 점 B 사이에 있으면서) 다음 조건을 만족하면, 점 P는 선분 AB를 m:n으로 내분한다고 하고, 점 P를 선분 AB의 m:n 내분점이라고 불러요. (단, m과 n은 모두 양수입니다.)
AP : PB = m : n
이것은 점 A에서 점 P까지의 거리와 점 P에서 점 B까지의 거리의 비가 m:n이라는 뜻이죠.
가장 특별한 내분점은 바로 중점이에요. 중점은 선분 AB를 1:1로 내분하는 점이랍니다.
✈️ 외분과 외분점: 선분 바깥(연장선)에서 나누기!
개념정리 103-2: 선분의 연장선 위의 점 Q
선분 AB가 주어졌을 때, 점 Q가 선분 AB의 연장선 위에 있으면서 다음 조건을 만족하면, 점 Q는 선분 AB를 m:n으로 외분한다고 하고, 점 Q를 선분 AB의 m:n 외분점이라고 불러요. (단, m과 n은 모두 양수이고, m ≠ n이어야 합니다. 만약 m=n이면 1:1 외분인데, 이런 점은 존재하지 않아요. )
AQ : QB = m : n
이것은 점 A에서 점 Q까지의 거리와 점 Q에서 점 B까지의 거리의 비가 m:n이라는 뜻이에요. 이때 점 Q는 선분 AB의 바깥쪽에 위치하게 됩니다.
외분점의 위치는 m과 n의 대소 관계에 따라 달라져요:
- m > n 일 때: AQ > QB여야 하므로, 점 Q는 점 B의 방향으로 그은 선분 AB의 연장선 위에 있어요. (점들의 순서: A – B – Q)
m>n 일 때 외분점 Q의 위치 (A-B-Q 순서) 그림
- m < n 일 때: AQ < QB여야 하므로, 점 Q는 점 A의 방향으로 그은 선분 AB의 연장선 위에 있어요. (점들의 순서: Q – A – B)
m
외분점을 생각할 때는 점 Q가 선분 AB의 “바깥”에서 A로부터 m만큼, B로부터 n만큼의 비율로 떨어져 있다고 상상하면 도움이 될 거예요!
🧐 개념확인 문제: 내분점과 외분점 찾기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 선분의 내분점과 외분점을 찾아봅시다!
오른쪽 그림과 같이 선분 AB의 사등분점을 각각 C, D, E라고 할 때, □ 안에 알맞은 것을 써넣으시오. (PDF Check 문제)
선분 AB를 4등분하여 점 C, D, E를 표시한 그림 (A-C-D-E-B 순서)- 점 C는 선분 AB를 ( ① ) : ( ② ) (으)로 내분하는 점이다.
- 점 D는 선분 EB를 ( ③ ) : ( ④ ) (으)로 외분하는 점이다.
- 점 ( ⑤ )는 선분 AD를 2:1로 외분하는 점이다.
정답 및 해설:
선분 AB를 4등분했으므로, AC = CD = DE = EB = k (일정한 길이)라고 놓을 수 있습니다.
- 점 C는 선분 AB 위에 있고, AC = k, CB = CD + DE + EB = 3k 입니다.
따라서 AC : CB = k : 3k = 1 : 3.
점 C는 선분 AB를 1 : 3으로 내분하는 점입니다. - 점 D는 선분 EB의 연장선 위에 있지 않고, 선분 EB의 “왼쪽”에 있습니다. 선분 EB에 대해 D의 위치를 보면, E에서 D까지의 거리는 ED = k이고, B에서 D까지의 거리는 BD = BE + ED = k+k = 2k 입니다.
외분점의 정의는 AQ : QB = m : n이므로, 여기서는 점 D가 선분 EB를 외분하는 점이므로, ED : DB를 생각해야 합니다. (E에서 출발하여 D를 거쳐 B로 가는 비율)
ED = k, DB = DE + EB = 2k로 수정. (이 부분은 그림을 보고 판단해야 합니다. 교재 그림에서 점 D는 선분 EB의 왼쪽에 있으므로 Q-A-B 형태가 아니라 A-Q-B 형태가 되어야 함. 즉, E-D-B 순서. 교재 답은 ED:BD=1:2로 되어있는데 이는 D가 EB를 1:2로 외분한다는 의미. ED = k, DB = 2k. 즉, D는 E에서 거리 1, B에서 거리 2의 비율. 점 D는 E의 왼쪽에 있으므로 $m - 선분 AD를 2:1로 외분하는 점을 Q라고 하면, AQ : QD = 2 : 1이고, m=2, n=1이므로 m>n입니다. 따라서 외분점 Q는 점 D의 방향으로 그은 선분 AD의 연장선 위에 있습니다. (A-D-Q 순서)
AD = AC + CD = 2k.
AQ = 2 \times QD 이고 AQ = AD + DQ = 2k + DQ.
2k + DQ = 2DQ ⇒ DQ = 2k.
점 D에서 오른쪽으로 2k만큼 떨어진 점은 점 B입니다. (DE + EB = k+k=2k)
따라서 점 B는 선분 AD를 2:1로 외분하는 점입니다.
선분의 내분점과 외분점은 그림을 그려서 위치를 파악하면 더 쉽게 이해할 수 있어요! 😉
오늘은 선분을 특정 비율로 나누는 점인 내분점과 외분점의 정의와 그 위치에 대해 알아보았습니다. 내분점은 선분 위에, 외분점은 선분의 연장선 위에 있으며, 특히 외분점은 m과 n의 대소 관계에 따라 위치가 달라진다는 점이 중요했죠? 이 개념은 앞으로 수직선과 좌표평면 위에서 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 공식의 기초가 된답니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 수직선 위에서 선분의 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 공식을 배워볼게요! 📍
✨ 선분의 내분점과 외분점 (정의) 연습 문제 PDF 링크 삽입 위치 ✨