035 복소수의 나눗셈: 분모의 켤레복소수를 곱하라! 💡
안녕하세요, 수학 계산의 달인 친구들! 👋 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈까지 마스터했다면 이제 마지막 사칙연산, 바로 복소수의 나눗셈에 도전할 시간이에요! 복소수의 나눗셈은 분모에 허수단위 i가 있는 경우, 이를 실수로 만들어주는 특별한 과정이 필요하답니다. 이 과정의 핵심 열쇠는 바로 이전에 배웠던 켤레복소수예요! 켤레복소수를 이용하면 복소수의 나눗셈도 깔끔하게 a+bi 꼴로 정리할 수 있어요. 함께 그 방법을 알아볼까요? 🔑
📝 핵심만정리: 복소수 나눗셈, 이렇게 계산해요!
a, b, c, d가 실수이고 c+di ≠ 0일 때, 복소수의 나눗셈 (a+bi)⁄(c+di)는 다음과 같이 계산해요.
- 핵심 원리: 분모와 분자에 분모의 켤레복소수(c-di)를 곱하여 분모를 실수로 만들어요. 이 과정을 분모의 실수화라고 합니다.
- 계산 과정:
(a+bi)⁄(c+di) = (a+bi)(c-di)⁄(c+di)(c-di) = (ac – adi + bci – bdi2)⁄(c2 – (di)2)
= (ac – adi + bci + bd)⁄(c2 + d2) (i2 = -1 이용)
= (ac+bd) + (bc-ad)i⁄(c2+d2)
= (ac+bd)⁄(c2+d2) + (bc-ad)⁄(c2+d2) i
최종 결과 공식을 외우기보다는, 분모의 켤레복소수를 곱하여 분모를 실수로 만드는 과정을 이해하고 연습하는 것이 훨씬 중요해요!
🤔 복소수 나눗셈의 원리: 분모를 실수로!
개념정리 35-1: 왜 분모의 켤레복소수를 곱할까요?
복소수의 나눗셈 (a+bi)⁄(c+di)을 계산할 때, 가장 중요한 목표는 결과를 A+Bi (A, B는 실수) 꼴로 나타내는 것이에요. 그런데 분모에 허수단위 i가 있으면 이런 형태로 바로 정리하기가 어렵죠.
여기서 마법처럼 등장하는 것이 바로 켤레복소수입니다! 어떤 복소수와 그 켤레복소수를 곱하면 항상 0 이상의 실수가 된다는 성질((c+di)(c-di) = c2 + d2)을 이용하는 거예요.
따라서 분모 c+di의 켤레복소수인 c-di를 분자와 분모에 똑같이 곱해주면, 분수의 값은 변하지 않으면서 분모는 c2+d2라는 실수로 바뀌게 됩니다. 이 과정을 분모의 실수화라고 하며, 무리수의 분모 유리화와 비슷한 원리랍니다.
분모가 실수가 되면, 식 전체를 (실수부분) + (허수부분)i 꼴로 정리하기가 훨씬 쉬워지죠!
🛠️ 복소수 나눗셈 계산 방법: 단계별 마스터!
개념정리 35-2: 분모의 실수화 과정 따라 하기
복소수 (a+bi)⁄(c+di) (단, c+di ≠ 0)를 계산하는 단계를 자세히 살펴봅시다.
[나눗셈 단계]
- 분모의 켤레복소수 찾기: 분모 c+di의 켤레복소수는 c-di입니다.
- 분자, 분모에 켤레복소수 곱하기: 원래 식의 분자와 분모에 똑같이 (c-di)를 곱합니다.
(a+bi)⁄(c+di) = (a+bi)(c-di)⁄(c+di)(c-di) - 분모 계산하기: 분모는 (c+di)(c-di) = c2 – (di)2 = c2 – d2i2 = c2 – d2(-1) = c2 + d2 (실수) 가 됩니다.
- 분자 계산하기: 분자는 분배법칙을 이용하여 전개합니다. (a+bi)(c-di) = ac – adi + bci – bdi2 = ac – adi + bci + bd = (ac+bd) + (bc-ad)i.
- A+Bi 꼴로 정리하기: 계산된 분자와 분모를 합쳐서 실수부분과 허수부분으로 나누어 정리합니다.
(ac+bd) + (bc-ad)i⁄(c2+d2) = (ac+bd)⁄(c2+d2) + (bc-ad)⁄(c2+d2) i
예시: (3-i)⁄(1+2i) 를 계산해 봅시다.
1. 분모 1+2i의 켤레복소수는 1-2i입니다.
2. 분자, 분모에 (1-2i)를 곱합니다:
(3-i)(1-2i)⁄(1+2i)(1-2i)
3. 분모 계산: (1+2i)(1-2i) = 12 – (2i)2 = 1 – 4i2 = 1 – 4(-1) = 1 + 4 = 5
4. 분자 계산: (3-i)(1-2i) = 3(1-2i) – i(1-2i) = 3 – 6i – i + 2i2 = 3 – 7i + 2(-1) = 3 – 7i – 2 = 1 – 7i
5. 정리하기:
(1-7i)⁄5 = 1⁄5 – 7⁄5i
복소수 사칙계산의 자유로움! 🕊️
복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(분모가 0이 아닐 때)의 결과는 항상 다시 복소수가 돼요. 그리고 이 연산들은 우리가 실수에서 사용하던 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 대부분 만족하기 때문에, 실수 계산처럼 자유롭게 연산할 수 있다는 것을 기억하면 좋아요! 너무 공식을 외우려 하기보다는 원리를 이해하고 자연스럽게 계산하는 연습을 하세요.
🧐 개념확인 문제: 복소수 나눗셈 연습!
이제 배운 내용을 바탕으로 복소수의 나눗셈을 직접 계산해 봅시다! 분모의 실수화를 잊지 마세요!
다음 식을 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 나타내시오. (PDF 문제 활용)
- 1⁄(3-2i)
- (2+i)⁄(2-i) (예시 변형)
정답 및 해설:
-
분모 3-2i의 켤레복소수는 3+2i입니다.
1⁄(3-2i) = 1 \cdot (3+2i)⁄(3-2i)(3+2i) = (3+2i)⁄(32 – (2i)2)
= (3+2i)⁄(9 – 4i2) = (3+2i)⁄(9 – 4(-1)) = (3+2i)⁄(9+4) = (3+2i)⁄13
= 3⁄13 + 2⁄13i
-
분모 2-i의 켤레복소수는 2+i입니다.
(2+i)⁄(2-i) = (2+i)(2+i)⁄(2-i)(2+i) = (2+i)2⁄(22 – i2)
분자: (2+i)2 = 22 + 2 \cdot 2 \cdot i + i2 = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
분모: 22 – i2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
= (3+4i)⁄5
= 3⁄5 + 4⁄5i
복소수의 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 곱해주는 ‘분모의 실수화’ 과정만 잘 기억하면 어렵지 않아요. 곱셈과 i2=-1 규칙을 정확히 적용하는 연습을 꾸준히 하세요! 💪
오늘은 복소수의 사칙연산 중 마지막 관문인 나눗셈에 대해 배웠습니다. 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱하여 분모를 실수로 만드는 ‘분모의 실수화’가 핵심이었죠? 이 과정을 통해 어떤 복소수의 나눗셈도 a+bi 형태로 깔끔하게 정리할 수 있게 되었습니다. 복소수의 사칙연산을 모두 마스터했으니, 이제 복소수의 또 다른 재미있는 성질들을 탐구할 준비가 되었네요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 허수단위 i의 거듭제곱에 숨겨진 규칙을 알아보겠습니다. 🔄