021 인수분해 공식 마스터: 곱셈 공식을 거꾸로!

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021 인수분해 공식 마스터: 곱셈 공식을 거꾸로! 🔄

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핵심정리 곱셈 공식에서 인수분해 공식으로 주요 인수분해 공식 개념확인

안녕하세요, 수학 구조 분석가 친구들! 👋 지난 시간에는 인수분해의 기본 개념과 가장 첫 단계인 공통인수로 묶는 방법에 대해 배웠어요. 오늘은 한 걸음 더 나아가, 우리가 이미 알고 있는 곱셈 공식을 거꾸로 생각해서 얻을 수 있는 다양한 인수분해 공식들을 익혀볼 거예요! 곱셈 공식을 잘 외워두었다면, 인수분해 공식은 마치 데칼코마니처럼 쉽게 이해할 수 있답니다. 이 공식들은 복잡한 다항식을 간단한 인수들의 곱으로 빠르게 변신시키는 마법 같은 도구들이니, 함께 마스터해 볼까요? 🧙‍♂️

📝 핵심만정리: 꼭 알아야 할 인수분해 공식!

인수분해 공식은 기본적으로 곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾼 형태예요. 다음은 자주 사용되는 주요 인수분해 공식들입니다.

  • 1. 완전제곱식 (1): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
  • 2. 완전제곱식 (2): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
  • 3. 합차 공식: a2 – b2 = (a + b)(a – b)
  • 4. 이차항의 계수가 1인 이차식: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
  • 5. 일반적인 이차식: acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
  • 6. 세 항의 완전제곱식: a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2
  • 7. 세제곱의 합/차 (1):
    • a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
    • a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
  • 8. 세제곱의 합/차 (2):
    • a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
    • a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
  • 9. 조금 더 복잡한 공식들 (PDF 참고):
    • a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
    • a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2)(a2 – ab + b2)

인수분해를 할 때는 특별한 언급이 없으면, 계수가 유리수인 범위에서 더 이상 인수분해할 수 없을 때까지 진행해요.

🔄 곱셈 공식에서 인수분해 공식으로: 거울 보기!

개념정리 21-1: 전개와 인수분해는 반대!

우리가 “008 곱셈 공식”에서 배웠던 내용을 떠올려 보세요. 예를 들어, (a+b)2을 전개하면 a2 + 2ab + b2이 되었죠?

인수분해는 이 과정을 정확히 거꾸로 하는 거예요. 즉, a2 + 2ab + b2라는 다항식을 보고, “아, 이건 (a+b)를 두 번 곱한 거구나!”라고 생각해서 (a+b)2으로 나타내는 것이죠.

곱셈 공식: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

↕

인수분해 공식: a2 + 2ab + b2 = (a+b)2

다른 모든 인수분해 공식들도 이처럼 곱셈 공식의 좌변과 우변을 서로 바꾸어 생각하면 쉽게 이해하고 암기할 수 있답니다!

🛠️ 주요 인수분해 공식 살펴보기

이제 몇 가지 중요한 인수분해 공식을 예시와 함께 자세히 살펴볼게요. 식의 형태를 잘 관찰하고 어떤 공식을 적용할 수 있을지 파악하는 연습이 중요해요!

1. 완전제곱식 만들기

a2 + 2ab + b2 = (a+b)2

a2 – 2ab + b2 = (a-b)2

예) x2 + 6x + 9 = x2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 32 = (x+3)2

예) 4y2 – 4y + 1 = (2y)2 – 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 12 = (2y-1)2

2. 합차 공식 거꾸로 (제곱의 차)

a2 – b2 = (a+b)(a-b)

예) 9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x+4y)(3x-4y)

예) (2x+1)2 – (x-3)2

이 경우 A = 2x+1, B = x-3으로 생각하면 A2-B2 꼴이에요.

= ((2x+1) + (x-3))((2x+1) – (x-3))

= (2x+1+x-3)(2x+1-x+3)

= (3x-2)(x+4)

3. 이차항의 계수가 1인 이차식 인수분해

x2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)

(곱해서 상수항 ab가 되고, 더해서 x의 계수 (a+b)가 되는 두 수 a, b를 찾는 것이 핵심!)

예) x2 + 5x + 6

곱해서 6, 더해서 5가 되는 두 수는 2와 3이죠? (2 \times 3 = 6, 2 + 3 = 5)

= (x+2)(x+3)

4. 세제곱의 합 또는 차 인수분해

a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a-b)(a2 + ab + b2)

(부호 관계에 주의하세요! (a+b)일 때 뒤 괄호는 -ab, (a-b)일 때 뒤 괄호는 +ab)

예) x3 + 8 = x3 + 23

= (x+2)(x2 – x \cdot 2 + 22) = (x+2)(x2 – 2x + 4)

예) y3 – 27 = y3 – 33

= (y-3)(y2 + y \cdot 3 + 32) = (y-3)(y2 + 3y + 9)

공식 적용 팁! 💡

주어진 식 전체를 한눈에 살펴보고 가장 적합한 인수분해 공식을 찾는 것이 중요해요. 때로는 식의 일부를 하나의 덩어리(문자)로 보고 공식을 적용해야 할 수도 있답니다. 예를 들어 (2x+1)^{2}-(x-3)^{2} 같은 경우죠.

🧐 개념확인 문제: 공식으로 인수분해하기!

이제 배운 인수분해 공식을 활용해서 다음 식들을 인수분해해 보세요!

인수분해 공식을 이용하여 다음 식을 인수분해하시오. (PDF 문제 활용 및 변형)

  1. 9x2 + 12xy + 4y2
  2. (x+y)2 – (y-z)2
  3. a2 + 6a – 16
  4. 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3
  5. x3 + 64

정답 및 해설:

  1. 9x2 + 12xy + 4y2 = (3x)2 + 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)2

    = (3x + 2y)2 (완전제곱식)

  2. (x+y)2 – (y-z)2 (합차 공식: A2-B2 꼴, A=x+y, B=y-z)

    = ((x+y) + (y-z))((x+y) – (y-z))

    = (x + 2y – z)(x + y – y + z)

    = (x + 2y – z)(x + z)

  3. a2 + 6a – 16 (곱해서 -16, 더해서 +6이 되는 두 수를 찾아요: 8과 -2)

    = (a + 8)(a – 2)

  4. 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3

    = (2x)3 – 3 \cdot (2x)2 \cdot (3y) + 3 \cdot (2x) \cdot (3y)2 – (3y)3

    = (2x – 3y)3 (세제곱 공식)

  5. x3 + 64 = x3 + 43

    = (x+4)(x2 – x \cdot 4 + 42)

    = (x+4)(x2 – 4x + 16) (세제곱의 합)

인수분해 공식은 처음에는 조금 낯설 수 있지만, 각 공식의 형태를 눈에 익히고 어떤 상황에 어떤 공식을 적용할지 판단하는 연습을 꾸준히 하면 금방 익숙해질 수 있어요. 포기하지 마세요! 💪

오늘은 곱셈 공식을 거꾸로 생각하여 얻을 수 있는 다양한 인수분해 공식들에 대해 배웠습니다. 완전제곱식, 합차 공식, 이차식의 인수분해, 세제곱 공식 등 많은 공식들이 있었죠? 이 공식들은 다항식을 더 간단한 인수들의 곱으로 나타내어 식의 구조를 파악하고, 앞으로 배울 방정식 풀이나 함수 분석 등 다양한 수학 분야에서 매우 유용하게 활용된답니다. 오늘 배운 공식들을 확실히 자기 것으로 만들어서 인수분해의 달인이 되어보세요! 다음 시간에는 공통부분이 있거나 여러 문자를 포함한 복잡한 식의 인수분해 방법에 대해 알아보겠습니다. 기대해주세요! 😄

✨ 인수분해 공식 연습 문제 PDF 링크 삽입 위치 ✨

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