02. 소인수분해와 거듭제곱
안녕하세요, 수학 탐험가 친구들! 지난 시간에는 ‘소수’와 ‘합성수’에 대해 배웠죠? 오늘은 이 소수를 이용해서 자연수를 분해하는 아주 멋진 방법, ‘소인수분해’에 대해 알아볼 거예요. 그전에 소인수분해를 편하게 쓰기 위한 ‘거듭제곱’부터 시작해볼까요?
⭐ 핵심만 정리 ⭐
오늘 배울 내용의 하이라이트예요!
- 거듭제곱: 같은 수를 여러 번 곱한 것. 예: \(5 \times 5 \times 5 = 5^3\)
- 소인수: 어떤 자연수의 약수 중에서 소수인 것.
- 소인수분해: 1보다 큰 자연수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타내는 것.
- 유일성: 자연수를 소인수분해한 결과는 곱하는 순서를 생각하지 않으면 오직 한 가지뿐이랍니다.
거듭제곱, 곱셈을 간단하게! 🚀
똑같은 수를 여러 번 곱해야 할 때, 일일이 다 쓰기엔 팔이 아프겠죠? 이럴 때 사용하는 것이 바로 ‘거듭제곱’이랍니다.
개념정리 1. 거듭제곱 (Power)
거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것을 말해요. 이때 곱하는 수를 밑, 그리고 곱해진 수의 개수를 지수라고 부릅니다.
\(2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^3 \times 7^2\)
- 여기서 2와 7은 ‘밑’이에요.
- 2 위에 작게 쓰인 3과 7 위에 작게 쓰인 2는 ‘지수’랍니다.
- 읽을 때는 ‘2의 세제곱 곱하기 7의 제곱’이라고 읽어요.
소인수분해, 숫자의 DNA를 찾아서 🧬
모든 자연수는 자신만의 고유한 ‘소수’들로 이루어져 있어요. 마치 생명체가 DNA를 가지는 것처럼요! 이 DNA를 찾아내는 과정이 바로 소인수분해랍니다.
개념정리 2. 소인수와 소인수분해
먼저 소인수가 무엇인지 알아야 해요. 소인수는 ‘소수인 인수(약수)’라는 뜻이에요.
그리고 소인수분해는 1보다 큰 자연수를 이 소인수들만의 곱으로 나타내는 것을 말해요.
- 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 12의 약수 중 소수(이것이 바로 소인수!): 2, 3
- 12를 소인수 2와 3의 곱으로 표현하기: \(12 = 2 \times 6 = 2 \times (2 \times 3) = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\)
따라서 12를 소인수분해하면 \(12 = 2^2 \times 3\) 이 됩니다!
주의!
소인수분해는 반드시 소수들의 곱으로만 나타내야 해요. \(12 = 4 \times 3\) 처럼 합성수(4)가 포함되면 안 된답니다!
소인수분해, 어떻게 할까? 🛠️
소인수분해를 하는 방법은 크게 두 가지가 있어요. 둘 다 알아두면 아주 유용하답니다!
개념정리 3. 소인수분해 하는 방법
어떤 방법을 쓰든, 몫이 소수가 될 때까지 나누는 것이 핵심이에요.
방법 1: 거꾸로 나누기
가장 많이 사용하는 방법이에요. 주어진 수를 소수로 나누고, 그 몫을 또 소수로 나누는 것을 반복하는 거죠. 60을 예로 들어 볼게요.
2 | 60
2 | 30
3 | 15
5 <-- 몫이 소수(5)가 되면 멈춤!
나누는 데 사용된 소수들과 마지막 몫을 모두 곱하면 끝!
\(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5\)
방법 2: 가지치기
수를 두 수의 곱으로 나누고, 나누어진 수가 소수가 될 때까지 계속 가지를 뻗어 나가는 방법이에요. 이번엔 24로 해볼까요?
24
/ \
2 12
/ \
2 6
/ \
2 3
마지막 가지 끝에 달린 소수들을 모두 모아 곱하면 됩니다.
따라서 \(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3\)
개념확인 🧐
자, 이제 직접 풀어보며 오늘 배운 내용을 확인해볼 시간이에요! '정답 확인' 버튼을 눌러 답을 맞춰보세요.
Q. 84를 두 가지 방법으로 소인수분해하고, 그 결과를 비교해보세요.
방법 1 (나누기):
2 | 84
2 | 42
3 | 21
7
따라서 \(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7\) 입니다.방법 2 (가지치기):
84
/ \
4 21
/ \ / \
2 2 3 7
마찬가지로 \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) 입니다. 어떤 방법으로 해도 결과는 같죠?
소인수분해는 앞으로 배울 약수의 개수 구하기, 최대공약수, 최소공배수 등에서 계속 사용되는 정말 중요한 개념이에요. 오늘 배운 내용을 차근차근 복습하면서 여러 숫자를 직접 분해해보는 연습을 꼭 해보세요! 화이팅! 💪
잠시 후 정답이 공개됩니다.
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