007 다항식 곱셈의 연산 법칙: 교환, 결합, 분배 법칙 완전 정복! 👑
안녕하세요, 수학 마법사 친구들! 👋 지난 시간에는 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 펼치는 ‘식의 전개’에 대해 배웠죠? 오늘은 다항식의 곱셈 계산을 더욱 자유롭고 체계적으로 할 수 있게 도와주는 세 가지 중요한 연산 법칙에 대해 알아볼 거예요. 바로 교환법칙, 결합법칙, 그리고 식의 전개에서 이미 살짝 맛보았던 분배법칙이랍니다! 이 법칙들을 이해하면 복잡한 다항식의 곱셈도 자신 있게 다룰 수 있게 될 거예요. 자, 그럼 마법 주문을 외울 준비되셨나요? ✨
📝 핵심만정리: 다항식 곱셈의 세 가지 마법 주문!
다항식의 곱셈에서도 수의 곱셈과 마찬가지로 다음과 같은 세 가지 중요한 연산 법칙이 성립해요. 세 다항식 A, B, C에 대하여:
- 교환법칙 (곱셈): 두 다항식을 곱할 때, 순서를 바꾸어 곱해도 결과는 같아요. [cite: 59]
AB = BA - 결합법칙 (곱셈): 세 다항식을 곱할 때, 앞의 두 다항식을 먼저 곱한 후 나머지 다항식을 곱한 결과와, 뒤의 두 다항식을 먼저 곱한 후 앞의 다항식을 곱한 결과가 같아요. [cite: 59]
(AB)C = A(BC)
(이 법칙 덕분에 괄호 없이 ABC로 쓰기도 해요!) - 분배법칙: 다항식의 합에 다른 다항식을 곱할 때, 또는 다항식에 다른 다항식의 합을 곱할 때, 곱셈을 각 항에 분배하여 계산할 수 있어요. [cite: 59]
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
이 법칙들은 우리가 식을 전개하고 정리하는 모든 과정의 기초가 된답니다!
🔄 교환법칙 (곱셈): 순서를 바꿔 곱해도 결과는 같다!
개념정리 7-1: 다항식 곱셈의 교환법칙
두 다항식 A와 B를 곱할 때, A를 먼저 곱하든 B를 먼저 곱하든 그 결과는 항상 같아요. 이것을 다항식 곱셈의 교환법칙이라고 합니다. [cite: 59]
AB = BA
예를 들어, 두 다항식 A = x + 2 이고 B = 3x – 1 이라고 해봅시다. (예시 수치 변경)
1. AB 계산하기:
AB = (x + 2)(3x – 1) = x(3x – 1) + 2(3x – 1)
= 3x2 – x + 6x – 2 = 3x2 + 5x – 2
2. BA 계산하기:
BA = (3x – 1)(x + 2) = 3x(x + 2) – 1(x + 2)
= 3x2 + 6x – x – 2 = 3x2 + 5x – 2
보시다시피, AB와 BA의 결과가 3x2 + 5x – 2로 똑같죠? 이것이 바로 곱셈에 대한 교환법칙이랍니다!
🔗 결합법칙 (곱셈): 어떤 것부터 곱해도 결과는 같다!
개념정리 7-2: 다항식 곱셈의 결합법칙
세 개 이상의 다항식 A, B, C를 차례로 곱할 때, 앞의 두 다항식(AB)을 먼저 곱하고 그 결과에 C를 곱하나, 뒤의 두 다항식(BC)을 먼저 곱하고 그 결과에 A를 곱하나 최종 결과는 같아요. 이것을 다항식 곱셈의 결합법칙이라고 합니다. [cite: 59]
(AB)C = A(BC)
결합법칙이 성립하기 때문에, 세 다항식의 곱은 괄호 없이 ABC와 같이 나타낼 수 있어요.
예를 들어, 세 다항식 A = x, B = x + 1, C = x – 2 라고 해봅시다. (예시 유지, 간단명료)
1. (AB)C 계산하기:
먼저 AB를 계산해요: AB = x(x + 1) = x2 + x
이제 여기에 C를 곱해요: (AB)C = (x2 + x)(x – 2) = x2(x – 2) + x(x – 2)
= x3 – 2x2 + x2 – 2x = x3 – x2 – 2x
2. A(BC) 계산하기:
먼저 BC를 계산해요: BC = (x + 1)(x – 2) = x(x – 2) + 1(x – 2) = x2 – 2x + x – 2 = x2 – x – 2
이제 여기에 A를 곱해요: A(BC) = x(x2 – x – 2) = x3 – x2 – 2x
두 결과가 x3 – x2 – 2x로 똑같죠? 이것이 바로 곱셈에 대한 결합법칙입니다!
🎁 분배법칙: 괄호를 푸는 마법의 열쇠!
개념정리 7-3: 다항식의 분배법칙
분배법칙은 이미 식의 전개에서 핵심적으로 사용했던 법칙이죠! 다항식의 합 또는 차에 다른 다항식을 곱할 때, 그 곱셈을 각 항에 골고루 나누어 적용하는 규칙입니다. [cite: 59]
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
예를 들어, 다항식 A = 2x, B = x2 + 3, C = -4x 라고 해봅시다. (예시 유지)
A(B + C) 계산하기:
A(B + C) = 2x((x2 + 3) + (-4x)) = 2x(x2 – 4x + 3)
= 2x(x2) + 2x(-4x) + 2x(3)
= 2x3 – 8x2 + 6x
AB + AC 계산하기:
AB = 2x(x2 + 3) = 2x3 + 6x
AC = 2x(-4x) = -8x2
AB + AC = (2x3 + 6x) + (-8x2) = 2x3 – 8x2 + 6x
결과가 2x3 – 8x2 + 6x로 똑같죠? 분배법칙이 정확히 성립하는 것을 볼 수 있어요!
연산 법칙은 왜 중요할까요? 🤔
다항식의 곱셈에서 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립하기 때문에 우리는 복잡한 다항식의 곱셈도 체계적으로 전개할 수 있고, 곱셈 공식을 유도하거나 이해하는 데에도 이 법칙들이 기본 원리로 작용한답니다. 즉, 다항식 계산의 기초 체력을 길러주는 규칙들이에요!
🧐 개념확인 문제: 연산 법칙 활용하기!
다음은 (x+a)(x+b)를 전개하는 과정입니다. 각 단계에서 어떤 연산 법칙이 주로 사용되었는지 생각해 보세요. (PDF 내용 기반으로 단계 명확화)
(x+a)(x+b)
= x(x+b) + a(x+b) (← 과정 ㉠)
= (x2 + xb) + (ax + ab) (← 과정 ㉡)
= x2 + xb + ax + ab
= x2 + ax + xb + ab (← 과정 ㉢)
= x2 + (ax + xb) + ab (← 과정 ㉣)
= x2 + (a+b)x + ab (← 과정 ㉤)
위 과정의 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤에서 각각 주로 사용된 다항식 곱셈 또는 덧셈의 연산 법칙은 무엇일까요? (교재의 빈칸 채우기 형식 참고)
정답 및 해설: (교재 의 빈칸 순서에 맞춰 설명)
- 과정 ㉠: 분배법칙 ((x+a)를 M으로 보고 M(x+b) = Mx + Mb를 적용한 후, M을 다시 (x+a)로 되돌려 x(x+b)+a(x+b)가 된 것은 아님. 정확히는 (x+a)를 x와 a로 나누어 각각 (x+b)에 곱하는 분배법칙 (A+B)C = AC+BC 사용)
- 과정 ㉡: 각 괄호에 분배법칙을 적용 (x(x+b)=x^2+xb, a(x+b)=ax+ab).
- 과정 ㉢ (세 번째 등호에서 네 번째 등호로 넘어갈 때): xb + ax 를 ax + xb 로 순서를 바꿈 (덧셈에 대한 교환법칙).
- 과정 ㉣ (네 번째 등호에서 다섯 번째 등호로 넘어갈 때): ax + xb 를 괄호로 묶음 (ax+xb) (덧셈에 대한 결합법칙).
- 과정 ㉤ (다섯 번째 등호에서 여섯 번째 등호로 넘어갈 때): ax + bx를 (a+b)x로 공통인수 x로 묶음 (분배법칙의 역).
이렇게 다항식의 전개 과정에는 여러 연산 법칙들이 자연스럽게 사용된답니다!
다항식 곱셈의 연산 법칙들을 잘 이해하고 활용하면, 복잡한 식의 전개도 훨씬 수월하게 할 수 있고, 앞으로 배울 곱셈 공식의 원리도 쉽게 파악할 수 있을 거예요! 👍
오늘은 다항식 곱셈에서 사용되는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙에 대해 알아보았어요. 이 법칙들은 마치 요리의 기본 레시피처럼, 다항식 계산을 정확하고 효율적으로 하는 데 꼭 필요한 도구들이랍니다. 오늘 배운 내용을 바탕으로 다양한 다항식 곱셈 문제에 도전해 보세요! 여러분의 수학 실력이 한층 더 성장할 거예요! 다음 시간에 또 만나요! 🚀